Равенство квадратов с модулем — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«A² = B²» — единственное решение на отрезке. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(3|x| + x − a)2 = 18x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−1; 2).
(3|x| + x − a)2 = 18x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−1; 2).
Показать ответ
{0}
Решение
Пусть A = 3|x|, B = x − a. Так как A2 = 9x2, правая часть равна 2A2 + 2B2, и уравнение (A + B)2 = 2A2 + 2B2 равносильно (A − B)2 = 0.
Значит 3|x| = x − a, то есть a = x − 3|x|: при x ≥ 0 это a = −2x, при x < 0 это a = 4x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−1; 2).
Ответ: {0}.
Значит 3|x| = x − a, то есть a = x − 3|x|: при x ≥ 0 это a = −2x, при x < 0 это a = 4x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−1; 2).
Ответ: {0}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2|x| + x − a)2 = 8x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−2; 1).
(2|x| + x − a)2 = 8x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−2; 1).
Показать ответ
(−6; −1] ∪ {0}
Решение
Пусть A = 2|x|, B = x − a. Так как A2 = 4x2, правая часть равна 2A2 + 2B2, и уравнение (A + B)2 = 2A2 + 2B2 равносильно (A − B)2 = 0.
Значит 2|x| = x − a, то есть a = x − 2|x|: при x ≥ 0 это a = −x, при x < 0 это a = 3x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−2; 1).
Ответ: (−6; −1] ∪ {0}.
Значит 2|x| = x − a, то есть a = x − 2|x|: при x ≥ 0 это a = −x, при x < 0 это a = 3x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−2; 1).
Ответ: (−6; −1] ∪ {0}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(4|x| + x − a)2 = 32x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−2; 2).
(4|x| + x − a)2 = 32x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−2; 2).
Показать ответ
(−10; −6] ∪ {0}
Решение
Пусть A = 4|x|, B = x − a. Так как A2 = 16x2, правая часть равна 2A2 + 2B2, и уравнение (A + B)2 = 2A2 + 2B2 равносильно (A − B)2 = 0.
Значит 4|x| = x − a, то есть a = x − 4|x|: при x ≥ 0 это a = −3x, при x < 0 это a = 5x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−2; 2).
Ответ: (−10; −6] ∪ {0}.
Значит 4|x| = x − a, то есть a = x − 4|x|: при x ≥ 0 это a = −3x, при x < 0 это a = 5x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−2; 2).
Ответ: (−10; −6] ∪ {0}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(2|x| + x − a)2 = 8x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−1; 1).
(2|x| + x − a)2 = 8x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−1; 1).
Показать ответ
(−3; −1] ∪ {0}
Решение
Пусть A = 2|x|, B = x − a. Так как A2 = 4x2, правая часть равна 2A2 + 2B2, и уравнение (A + B)2 = 2A2 + 2B2 равносильно (A − B)2 = 0.
Значит 2|x| = x − a, то есть a = x − 2|x|: при x ≥ 0 это a = −x, при x < 0 это a = 3x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−1; 1).
Ответ: (−3; −1] ∪ {0}.
Значит 2|x| = x − a, то есть a = x − 2|x|: при x ≥ 0 это a = −x, при x < 0 это a = 3x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−1; 1).
Ответ: (−3; −1] ∪ {0}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(4|x| + x − a)2 = 32x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−1; 1).
(4|x| + x − a)2 = 32x2 + 2(x − a)2
имеет единственное решение на интервале (−1; 1).
Показать ответ
(−5; −3] ∪ {0}
Решение
Пусть A = 4|x|, B = x − a. Так как A2 = 16x2, правая часть равна 2A2 + 2B2, и уравнение (A + B)2 = 2A2 + 2B2 равносильно (A − B)2 = 0.
Значит 4|x| = x − a, то есть a = x − 4|x|: при x ≥ 0 это a = −3x, при x < 0 это a = 5x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−1; 1).
Ответ: (−5; −3] ∪ {0}.
Значит 4|x| = x − a, то есть a = x − 4|x|: при x ≥ 0 это a = −3x, при x < 0 это a = 5x.
Считаем, сколько таких x попадает в интервал (−1; 1).
Ответ: (−5; −3] ∪ {0}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.