Равенство квадратов: сводится к квадратному уравнению — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«A² = B²» — единственное решение на отрезке. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [1; 3].
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [1; 3].
Показать ответ
[1; 15]
Решение
Обозначим A = x2, B = x + a. Тогда уравнение принимает вид (A + 2B)2 = 5(A2 + B2).
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [1; 3]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: [1; 15].
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [1; 3]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: [1; 15].
Пример 2
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 1].
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 1].
Показать ответ
{−1/8} ∪ (0; 1]
Решение
Обозначим A = x2, B = x + a. Тогда уравнение принимает вид (A + 2B)2 = 5(A2 + B2).
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [0; 1]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: {−1/8} ∪ (0; 1].
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [0; 1]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: {−1/8} ∪ (0; 1].
Пример 3
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
Показать ответ
{−1/8} ∪ (0; 15]
Решение
Обозначим A = x2, B = x + a. Тогда уравнение принимает вид (A + 2B)2 = 5(A2 + B2).
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [0; 3]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: {−1/8} ∪ (0; 15].
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [0; 3]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: {−1/8} ∪ (0; 15].
Пример 4
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
x2 + 2x + 2a2 = 5x4 + 5(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Показать ответ
{−1/8} ∪ (0; 6]
Решение
Обозначим A = x2, B = x + a. Тогда уравнение принимает вид (A + 2B)2 = 5(A2 + B2).
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [0; 2]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: {−1/8} ∪ (0; 6].
Раскрывая, получаем 4A2 − 4AB + B2 = 0, то есть (2A − B)2 = 0 ⟺ 2x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 2x2 − x был ровно один корень на [0; 2]. Парабола 2x2 − x имеет вершину в x = 1/4 со значением −1/8.
Ответ: {−1/8} ∪ (0; 6].
Пример 5
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 + 4x + 4a2 = 17x4 + 17(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
x2 + 4x + 4a2 = 17x4 + 17(x + a)2
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Показать ответ
{−1/16} ∪ (0; 14]
Решение
Обозначим A = x2, B = x + a. Тогда уравнение принимает вид (A + 4B)2 = 17(A2 + B2).
Раскрывая, получаем 16A2 − 8AB + B2 = 0, то есть (4A − B)2 = 0 ⟺ 4x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 4x2 − x был ровно один корень на [0; 2]. Парабола 4x2 − x имеет вершину в x = 1/8 со значением −1/16.
Ответ: {−1/16} ∪ (0; 14].
Раскрывая, получаем 16A2 − 8AB + B2 = 0, то есть (4A − B)2 = 0 ⟺ 4x2 − x − a = 0.
Значит нужно, чтобы у уравнения a = 4x2 − x был ровно один корень на [0; 2]. Парабола 4x2 − x имеет вершину в x = 1/8 со значением −1/16.
Ответ: {−1/16} ∪ (0; 14].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.