Ровно четыре: {пучок окружностей; (x−1)(y−1)=0} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 − 2ax + (2 − a)y + 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 − 2ax + (2 − a)y + 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (3; +∞)
Решение
Вторая строка: xy − x − y + 1 = (x − 1)(y − 1) = 0, то есть x = 1 или y = 1.
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (2 − a)y − a + 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 3 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y + 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (3; +∞).
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (2 − a)y − a + 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 3 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y + 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (3; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 − 2ax + (2a + 2)y − 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 − 2ax + (2a + 2)y − 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−1/2; 0)
Решение
Вторая строка: xy − x − y + 1 = (x − 1)(y − 1) = 0, то есть x = 1 или y = 1.
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (2a + 2)y − a − 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 3a + 1 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y − 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−1/2; 0).
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (2a + 2)y − a − 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 3a + 1 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y − 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−1/2; 0).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 − 2ax + (a + 2)y + a + 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 − 2ax + (a + 2)y + a + 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−3/2; 0)
Решение
Вторая строка: xy − x − y + 1 = (x − 1)(y − 1) = 0, то есть x = 1 или y = 1.
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (a + 2)y + 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 3a + 3 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y + 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−3/2; 0).
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (a + 2)y + 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 3a + 3 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y + 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−3/2; 0).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 − 4ax + (1 − 2a)y + 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 − 4ax + (1 − 2a)y + 1 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (2/5; 1/2) ∪ (1/2; +∞)
Решение
Вторая строка: xy − x − y + 1 = (x − 1)(y − 1) = 0, то есть x = 1 или y = 1.
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (1 − 2a)y − 3a + 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 4ax − a + 2 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую y + 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (2/5; 1/2) ∪ (1/2; +∞).
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (1 − 2a)y − 3a + 1 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 4ax − a + 2 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую y + 1 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (2/5; 1/2) ∪ (1/2; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 − 2ax + (a + 2)y + 2 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 − 2ax + (a + 2)y + 2 = 0xy + 1 = x + y
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−4; 0)
Решение
Вторая строка: xy − x − y + 1 = (x − 1)(y − 1) = 0, то есть x = 1 или y = 1.
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (a + 2)y − a + 2 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 2a + 4 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y + 2 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−4; 0).
Подставим x = 1 в первую строку: ay2 + (a + 2)y − a + 2 = 0 — квадратное по y при a ≠ 0.
Подставим y = 1: ax2 − 2ax + 2a + 4 = 0 — квадратное по x.
Четыре различных решения — это по два корня у каждого уравнения, причём точка (1; 1) не должна попасть на кривую (иначе она посчитана дважды и различных решений три). При a = 0 первая строка превращается в прямую 2y + 2 = 0 и решение единственное.
Ответ: (−4; 0).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.