Ровно четыре решения: чётная периодическая f (парабола на периоде) = |a+w|·∛(κx) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Функция f определена на всей числовой прямой, чётная и периодическая с периодом 18, причём f(x) = ax2 при 0 ≤ x ≤ 9.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 6|·6
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 6|·6
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
{−12/11} ∪ {12/7}
Решение
Из чётности и периодичности: на каждом промежутке [18k − 9; 18k + 9] выполняется f(x) = a(x − 18k)2. Это цепочка одинаковых парабол: нули в центрах 18k, вершины ±81a в стыках (2k + 1)·9.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 6|3·216x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 6|·∛(216·27) = 81|a|, то есть 18|a + 6| = 81|a|.
Отсюда a = 12/7 и a = −12/11.
Ответ: {−12/11} ∪ {12/7}.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 6|3·216x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 6|·∛(216·27) = 81|a|, то есть 18|a + 6| = 81|a|.
Отсюда a = 12/7 и a = −12/11.
Ответ: {−12/11} ∪ {12/7}.
Пример 2
Функция f определена на всей числовой прямой, чётная и периодическая с периодом 18, причём f(x) = ax2 при 0 ≤ x ≤ 9.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 3|·6
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 3|·6
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
{−6/11} ∪ {6/7}
Решение
Из чётности и периодичности: на каждом промежутке [18k − 9; 18k + 9] выполняется f(x) = a(x − 18k)2. Это цепочка одинаковых парабол: нули в центрах 18k, вершины ±81a в стыках (2k + 1)·9.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 3|3·216x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 3|·∛(216·27) = 81|a|, то есть 18|a + 3| = 81|a|.
Отсюда a = 6/7 и a = −6/11.
Ответ: {−6/11} ∪ {6/7}.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 3|3·216x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 3|·∛(216·27) = 81|a|, то есть 18|a + 3| = 81|a|.
Отсюда a = 6/7 и a = −6/11.
Ответ: {−6/11} ∪ {6/7}.
Пример 3
Функция f определена на всей числовой прямой, чётная и периодическая с периодом 18, причём f(x) = ax2 при 0 ≤ x ≤ 9.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 2|·3
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 2|·3
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
{−1/5} ∪ {1/4}
Решение
Из чётности и периодичности: на каждом промежутке [18k − 9; 18k + 9] выполняется f(x) = a(x − 18k)2. Это цепочка одинаковых парабол: нули в центрах 18k, вершины ±81a в стыках (2k + 1)·9.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 2|3·27x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 2|·∛(27·27) = 81|a|, то есть 9|a + 2| = 81|a|.
Отсюда a = 1/4 и a = −1/5.
Ответ: {−1/5} ∪ {1/4}.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 2|3·27x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 2|·∛(27·27) = 81|a|, то есть 9|a + 2| = 81|a|.
Отсюда a = 1/4 и a = −1/5.
Ответ: {−1/5} ∪ {1/4}.
Пример 4
Функция f определена на всей числовой прямой, чётная и периодическая с периодом 18, причём f(x) = ax2 при 0 ≤ x ≤ 9.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 2|·7
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 2|·7
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
{−7/17} ∪ {7/10}
Решение
Из чётности и периодичности: на каждом промежутке [18k − 9; 18k + 9] выполняется f(x) = a(x − 18k)2. Это цепочка одинаковых парабол: нули в центрах 18k, вершины ±81a в стыках (2k + 1)·9.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 2|3·343x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 2|·∛(343·27) = 81|a|, то есть 21|a + 2| = 81|a|.
Отсюда a = 7/10 и a = −7/17.
Ответ: {−7/17} ∪ {7/10}.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 2|3·343x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 2|·∛(343·27) = 81|a|, то есть 21|a + 2| = 81|a|.
Отсюда a = 7/10 и a = −7/17.
Ответ: {−7/17} ∪ {7/10}.
Пример 5
Функция f определена на всей числовой прямой, чётная и периодическая с периодом 18, причём f(x) = ax2 при 0 ≤ x ≤ 9.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 6|·
имеет ровно четыре различных решения.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
f(x) = |a + 6|·
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
{−3/14} ∪ {3/13}
Решение
Из чётности и периодичности: на каждом промежутке [18k − 9; 18k + 9] выполняется f(x) = a(x − 18k)2. Это цепочка одинаковых парабол: нули в центрах 18k, вершины ±81a в стыках (2k + 1)·9.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 6|3·x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 6|·∛(1·27) = 81|a|, то есть 3|a + 6| = 81|a|.
Отсюда a = 3/13 и a = −3/14.
Ответ: {−3/14} ∪ {3/13}.
Возведём уравнение в куб (куб монотонен, поэтому равносильность сохраняется): a3(x − 18k)6 = |a + 6|3·x — на каждой дуге это многочлен, и число его корней считается точно.
Точка x = 0 — решение при любом a. Правая часть монотонна, поэтому пока стык (2k+1)·9 «не включён» (значение правой части в нём больше 81|a|), соседние дуги решений не дают; в момент включения два корня сливаются в самом стыке, а дальше расходятся.
Значит число решений принимает значения 1, 3, 5, … и равно ЧЕТЫРЁМ ровно в момент включения второго стыка x = 27: |a + 6|·∛(1·27) = 81|a|, то есть 3|a + 6| = 81|a|.
Отсюда a = 3/13 и a = −3/14.
Ответ: {−3/14} ∪ {3/13}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.