Ровно четыре решения: {nx⁴+my² = na²; x²+y = |pa−c|} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
16x4 + 9y2 = 16a2x2 + y = |2a − 6|
имеет ровно четыре различных решения.
16x4 + 9y2 = 16a2x2 + y = |2a − 6|
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(18/11; 9/5) ∪ (9; 18)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и B = |2a − 6| ≥ 0. Система превращается в пересечение эллипса 16u2 + 9y2 = 16a2 с прямой u + y = B.
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 18Bu + 9B2 − 16a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 9B2 − 16a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 9B2, а обращение корня в нуль — равенству 9B2 = 16a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (18/11; 9/5) ∪ (9; 18).
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 18Bu + 9B2 − 16a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 9B2 − 16a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 9B2, а обращение корня в нуль — равенству 9B2 = 16a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (18/11; 9/5) ∪ (9; 18).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
16x4 + 9y2 = 16a2x2 + y = |2a − 3|
имеет ровно четыре различных решения.
16x4 + 9y2 = 16a2x2 + y = |2a − 3|
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(9/11; 9/10) ∪ (9/2; 9)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и B = |2a − 3| ≥ 0. Система превращается в пересечение эллипса 16u2 + 9y2 = 16a2 с прямой u + y = B.
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 18Bu + 9B2 − 16a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 9B2 − 16a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 9B2, а обращение корня в нуль — равенству 9B2 = 16a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (9/11; 9/10) ∪ (9/2; 9).
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 18Bu + 9B2 − 16a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 9B2 − 16a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 9B2, а обращение корня в нуль — равенству 9B2 = 16a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (9/11; 9/10) ∪ (9/2; 9).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
16x4 + 9y2 = 16a2x2 + y = |a − 8|
имеет ровно четыре различных решения.
16x4 + 9y2 = 16a2x2 + y = |a − 8|
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−24; −12) ∪ (3; 24/7)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и B = |a − 8| ≥ 0. Система превращается в пересечение эллипса 16u2 + 9y2 = 16a2 с прямой u + y = B.
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 18Bu + 9B2 − 16a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 9B2 − 16a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 9B2, а обращение корня в нуль — равенству 9B2 = 16a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (−24; −12) ∪ (3; 24/7).
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 18Bu + 9B2 − 16a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 9B2 − 16a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 9B2, а обращение корня в нуль — равенству 9B2 = 16a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (−24; −12) ∪ (3; 24/7).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
9x4 + 16y2 = 9a2x2 + y = |a − 1|
имеет ровно четыре различных решения.
9x4 + 16y2 = 9a2x2 + y = |a − 1|
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −4) ∪ (4/9; 4/7) ∪ (4; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и B = |a − 1| ≥ 0. Система превращается в пересечение эллипса 9u2 + 16y2 = 9a2 с прямой u + y = B.
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 32Bu + 16B2 − 9a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 16B2 − 9a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 16B2, а обращение корня в нуль — равенству 16B2 = 9a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (4/9; 4/7) ∪ (4; +∞).
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 32Bu + 16B2 − 9a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 16B2 − 9a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 16B2, а обращение корня в нуль — равенству 16B2 = 9a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (4/9; 4/7) ∪ (4; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
9x4 + 16y2 = 9a2x2 + y = |a − 3|
имеет ровно четыре различных решения.
9x4 + 16y2 = 9a2x2 + y = |a − 3|
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ (4/3; 12/7) ∪ (12; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и B = |a − 3| ≥ 0. Система превращается в пересечение эллипса 9u2 + 16y2 = 9a2 с прямой u + y = B.
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 32Bu + 16B2 − 9a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 16B2 − 9a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 16B2, а обращение корня в нуль — равенству 16B2 = 9a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (−∞; −12) ∪ (4/3; 12/7) ∪ (12; +∞).
Каждой точке пересечения с u > 0 отвечают ДВА значения x = ±√u, а точке с u = 0 — одно. Значит четыре решения — это ровно две точки с положительным u.
Подставляя y = B − u, получаем 25u2 − 32Bu + 16B2 − 9a2 = 0. Обе точки положительны ⟺ дискриминант положителен и произведение корней 16B2 − 9a2 > 0.
Нулевой дискриминант равносилен 25a2 = 16B2, а обращение корня в нуль — равенству 16B2 = 9a2; оба условия квадратны по a и решаются точно.
Ответ: (−∞; −12) ∪ (4/3; 12/7) ∪ (12; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.