Ровно четыре решения: {окружность с центром (a;0); p²x² = q²y²} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 9 + 2ax − a264x2 = 225y2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 = 9 + 2ax − a264x2 = 225y2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−51/8; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 51/8)
Решение
Первое уравнение — это (x − a)2 + y2 = 9: окружность радиуса 3 с центром (a; 0), бегущим по оси абсцисс.
Второе распадается на две прямые 8x − 15y = 0 и 8x + 15y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 8|a|17 (так как 82 + 152 = 172), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 51/8, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 3.
Ответ: (−51/8; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 51/8).
Второе распадается на две прямые 8x − 15y = 0 и 8x + 15y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 8|a|17 (так как 82 + 152 = 172), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 51/8, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 3.
Ответ: (−51/8; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 51/8).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 1 + 2ax − a225x2 = 144y2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 = 1 + 2ax − a225x2 = 144y2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−13/5; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 13/5)
Решение
Первое уравнение — это (x − a)2 + y2 = 1: окружность радиуса 1 с центром (a; 0), бегущим по оси абсцисс.
Второе распадается на две прямые 5x − 12y = 0 и 5x + 12y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 5|a|13 (так как 52 + 122 = 132), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 13/5, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 1.
Ответ: (−13/5; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 13/5).
Второе распадается на две прямые 5x − 12y = 0 и 5x + 12y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 5|a|13 (так как 52 + 122 = 132), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 13/5, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 1.
Ответ: (−13/5; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 13/5).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 9 + 2ax − a2225x2 = 64y2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 = 9 + 2ax − a2225x2 = 64y2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−17/5; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 17/5)
Решение
Первое уравнение — это (x − a)2 + y2 = 9: окружность радиуса 3 с центром (a; 0), бегущим по оси абсцисс.
Второе распадается на две прямые 15x − 8y = 0 и 15x + 8y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 15|a|17 (так как 152 + 82 = 172), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 17/5, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 3.
Ответ: (−17/5; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 17/5).
Второе распадается на две прямые 15x − 8y = 0 и 15x + 8y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 15|a|17 (так как 152 + 82 = 172), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 17/5, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 3.
Ответ: (−17/5; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 17/5).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 36 + 2ax − a2144x2 = 25y2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 = 36 + 2ax − a2144x2 = 25y2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−13/2; −6) ∪ (−6; 6) ∪ (6; 13/2)
Решение
Первое уравнение — это (x − a)2 + y2 = 36: окружность радиуса 6 с центром (a; 0), бегущим по оси абсцисс.
Второе распадается на две прямые 12x − 5y = 0 и 12x + 5y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 12|a|13 (так как 122 + 52 = 132), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 13/2, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 6.
Ответ: (−13/2; −6) ∪ (−6; 6) ∪ (6; 13/2).
Второе распадается на две прямые 12x − 5y = 0 и 12x + 5y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 12|a|13 (так как 122 + 52 = 132), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 13/2, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 6.
Ответ: (−13/2; −6) ∪ (−6; 6) ∪ (6; 13/2).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 4 + 2ax − a29x2 = 16y2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 = 4 + 2ax − a29x2 = 16y2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−10/3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 10/3)
Решение
Первое уравнение — это (x − a)2 + y2 = 4: окружность радиуса 2 с центром (a; 0), бегущим по оси абсцисс.
Второе распадается на две прямые 3x − 4y = 0 и 3x + 4y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 3|a|5 (так как 32 + 42 = 52), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 10/3, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 2.
Ответ: (−10/3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 10/3).
Второе распадается на две прямые 3x − 4y = 0 и 3x + 4y = 0, пересекающиеся в начале координат.
Расстояние от центра до каждой прямой равно 3|a|5 (так как 32 + 42 = 52), поэтому каждая прямая даёт две точки ровно при |a| < 10/3, одну при равенстве и ни одной дальше.
Итого четыре точки — когда обе прямые секущие и при этом начало координат НЕ лежит на окружности (иначе две пары точек склеиваются в три различные): |a| ≠ 2.
Ответ: (−10/3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 10/3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.