Ровно четыре решения: {пучок окружностей; вертикаль и парабола} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 + (2a + 6)x − ay + 1 = 0x3 + x2 + y = xy + 2x
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 + (2a + 6)x − ay + 1 = 0x3 + x2 + y = xy + 2x
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−28/11; −7/9) ∪ (−7/9; 0)
Решение
Вторая строка раскладывается: (x − 1)(x2 + 2x − y) = 0, то есть это вертикаль x = 1 ЛИБО парабола y = x2 + 2x.
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 + 2x − y) + 6x + 1 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта -11 − 28a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 + 4x + 4) + 6x + 1 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 18x3 + 52x2 + 36x + 8 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (−28/11; −7/9) ∪ (−7/9; 0).
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 + 2x − y) + 6x + 1 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта -11 − 28a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 + 4x + 4) + 6x + 1 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 18x3 + 52x2 + 36x + 8 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (−28/11; −7/9) ∪ (−7/9; 0).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 + (−2a + 2)x − ay − 1 = 0x3 − x2 − y = xy + 2x
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 + (−2a + 2)x − ay − 1 = 0x3 − x2 − y = xy + 2x
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(0; 1/3) ∪ (1/3; 12/11)
Решение
Вторая строка раскладывается: (x + 1)(x2 − 2x − y) = 0, то есть это вертикаль x = −1 ЛИБО парабола y = x2 − 2x.
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 − 2x − y) + 2x − 1 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта -11 − -12a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 − 4x + 4) + 2x − 1 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 6x3 − 20x2 + 20x − 8 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (0; 1/3) ∪ (1/3; 12/11).
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 − 2x − y) + 2x − 1 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта -11 − -12a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 − 4x + 4) + 2x − 1 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 6x3 − 20x2 + 20x − 8 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (0; 1/3) ∪ (1/3; 12/11).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 + (a + 6)x + ay − 3 = 0x3 − 3x2 + 2y = xy − 2x
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 + (a + 6)x + ay − 3 = 0x3 − 3x2 + 2y = xy − 2x
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−3/2; −3/4) ∪ (−3/4; 0)
Решение
Вторая строка раскладывается: (x − 2)(x2 − x − y) = 0, то есть это вертикаль x = 2 ЛИБО парабола y = x2 − x.
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 + x + y) + 6x − 3 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта -23 − 36a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 − 2x + 3) + 6x − 3 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 18x3 − 36x2 + 36x − 18 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (−3/2; −3/4) ∪ (−3/4; 0).
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 + x + y) + 6x − 3 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта -23 − 36a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 − 2x + 3) + 6x − 3 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 18x3 − 36x2 + 36x − 18 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (−3/2; −3/4) ∪ (−3/4; 0).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 + (2a + 3)x + ay − 3 = 0x3 − x2 − y = xy + 2x
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 + (2a + 3)x + ay − 3 = 0x3 − x2 − y = xy + 2x
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(0; 6/11) ∪ (6/11; +∞)
Решение
Вторая строка раскладывается: (x + 1)(x2 − 2x − y) = 0, то есть это вертикаль x = −1 ЛИБО парабола y = x2 − 2x.
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 + 2x + y) + 3x − 3 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта 5 − -24a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 − 4x + 6) + 3x − 3 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 9x3 − 36x2 + 54x − 36 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (0; 6/11) ∪ (6/11; +∞).
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 + 2x + y) + 3x − 3 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта 5 − -24a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 − 4x + 6) + 3x − 3 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 9x3 − 36x2 + 54x − 36 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (0; 6/11) ∪ (6/11; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
ax2 + ay2 + (−a + 4)x + ay + 2 = 0x3 + y = xy + x
имеет ровно четыре различных решения.
ax2 + ay2 + (−a + 4)x + ay + 2 = 0x3 + y = xy + x
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1) ∪ (−1; 0)
Решение
Вторая строка раскладывается: (x − 1)(x2 + x − y) = 0, то есть это вертикаль x = 1 ЛИБО парабола y = x2 + x.
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 − x + y) + 4x + 2 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта 1 − 24a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 + 2x + 3) + 4x + 2 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 12x3 + 24x2 + 24x + 12 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 0).
Первая строка — пучок окружностей a(x2 + y2 − x + y) + 4x + 2 = 0.
На вертикали остаётся квадратное уравнение по y, число корней которого определяется знаком дискриминанта 1 − 24a.
На параболе подстановка даёт a·x2(x2 + 2x + 3) + 4x + 2 = 0 — уравнение четвёртой степени; его корни считаются точно.
Касание пучка с параболой находится исключением a из системы «значение и производная равны нулю»: получается кубическое уравнение 12x3 + 24x2 + 24x + 12 = 0, и все его корни рациональны.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 0).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.