Ровно четыре решения: {(x−h)(y+kx−kh) = |x−h|³; y = mx+a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 1)(y + 2x − 2) = |x − 1|3y = x + a
имеет ровно четыре различных решения.
(x − 1)(y + 2x − 2) = |x − 1|3y = x + a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−13/4; −1) ∪ (−1; 5/4)
Решение
Обозначим t = x − 1. Первая строка принимает вид t(y + 2t) = |t|3.
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = 1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 2t; при t < 0 получаем y = −t2 − 2t.
Прямая y = x + a в координате t записывается как y = t + b, где b = a + 1; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 3t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 3t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −9/4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 9/4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 9/4.
Ответ: (−13/4; −1) ∪ (−1; 5/4).
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = 1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 2t; при t < 0 получаем y = −t2 − 2t.
Прямая y = x + a в координате t записывается как y = t + b, где b = a + 1; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 3t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 3t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −9/4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 9/4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 9/4.
Ответ: (−13/4; −1) ∪ (−1; 5/4).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 2)(y + 2x − 4) = |x − 2|3y = x + a
имеет ровно четыре различных решения.
(x − 2)(y + 2x − 4) = |x − 2|3y = x + a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−17/4; −2) ∪ (−2; 1/4)
Решение
Обозначим t = x − 2. Первая строка принимает вид t(y + 2t) = |t|3.
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = 2) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 2t; при t < 0 получаем y = −t2 − 2t.
Прямая y = x + a в координате t записывается как y = t + b, где b = a + 2; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 3t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 3t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −9/4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 9/4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 9/4.
Ответ: (−17/4; −2) ∪ (−2; 1/4).
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = 2) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 2t; при t < 0 получаем y = −t2 − 2t.
Прямая y = x + a в координате t записывается как y = t + b, где b = a + 2; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 3t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 3t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −9/4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 9/4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 9/4.
Ответ: (−17/4; −2) ∪ (−2; 1/4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 1)(y + x + 1) = |x + 1|3y = 3x + a
имеет ровно четыре различных решения.
(x + 1)(y + x + 1) = |x + 1|3y = 3x + a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−1; 3) ∪ (3; 7)
Решение
Обозначим t = x + 1. Первая строка принимает вид t(y + t) = |t|3.
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = −1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − t; при t < 0 получаем y = −t2 − t.
Прямая y = 3x + a в координате t записывается как y = 3t + b, где b = a − 3; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 4t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 4t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 4.
Ответ: (−1; 3) ∪ (3; 7).
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = −1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − t; при t < 0 получаем y = −t2 − t.
Прямая y = 3x + a в координате t записывается как y = 3t + b, где b = a − 3; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 4t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 4t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 4.
Ответ: (−1; 3) ∪ (3; 7).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 1)(y + 3x + 3) = |x + 1|3y = 2x + a
имеет ровно четыре различных решения.
(x + 1)(y + 3x + 3) = |x + 1|3y = 2x + a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−17/4; 2) ∪ (2; 33/4)
Решение
Обозначим t = x + 1. Первая строка принимает вид t(y + 3t) = |t|3.
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = −1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 3t; при t < 0 получаем y = −t2 − 3t.
Прямая y = 2x + a в координате t записывается как y = 2t + b, где b = a − 2; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 5t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 5t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −25/4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 25/4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 25/4.
Ответ: (−17/4; 2) ∪ (2; 33/4).
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = −1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 3t; при t < 0 получаем y = −t2 − 3t.
Прямая y = 2x + a в координате t записывается как y = 2t + b, где b = a − 2; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 5t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 5t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −25/4 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 25/4 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 25/4.
Ответ: (−17/4; 2) ∪ (2; 33/4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 1)(y + 4x + 4) = |x + 1|3y = 2x + a
имеет ровно четыре различных решения.
(x + 1)(y + 4x + 4) = |x + 1|3y = 2x + a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−7; 2) ∪ (2; 11)
Решение
Обозначим t = x + 1. Первая строка принимает вид t(y + 4t) = |t|3.
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = −1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 4t; при t < 0 получаем y = −t2 − 4t.
Прямая y = 2x + a в координате t записывается как y = 2t + b, где b = a − 2; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 6t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 6t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −9 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 9 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 9.
Ответ: (−7; 2) ∪ (2; 11).
При t = 0 (то есть на всей вертикальной прямой x = −1) она выполняется тождественно — это целая прямая точек кривой.
При t > 0 делим на t: y = t2 − 4t; при t < 0 получаем y = −t2 − 4t.
Прямая y = 2x + a в координате t записывается как y = 2t + b, где b = a − 2; вертикаль она пересекает ровно один раз при любом a.
Остаётся t2 − 6t − b = 0 на луче t > 0 и t2 + 6t + b = 0 на луче t < 0. Первое даёт два корня при −9 < b < 0 и один при b > 0, второе — два при 0 < b < 9 и один при b < 0.
Итого четыре точки ⟺ b ≠ 0 и |b| < 9.
Ответ: (−7; 2) ∪ (2; 11).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.