Ровно четыре: та же окружность в раскрытом виде — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(a + 5)x − (6a + 2)y + 10a2 + 16a + 8 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 − 2(a + 5)x − (6a + 2)y + 10a2 + 16a + 8 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−1; 0)
Решение
Соберём в первой строке полные квадраты: (x − (a + 5))2 + (y − (3a + 1))2 = 18. Это окружность с центром P(a + 5; 3a + 1) и радиусом 3.
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−2a + 4| < 6 и |4a + 6| < 6.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 10a2 + 16a + 8 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; 0).
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−2a + 4| < 6 и |4a + 6| < 6.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 10a2 + 16a + 8 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; 0).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(a + 6)x − 4(a + 1)y + 5a2 + 20a + 22 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 − 2(a + 6)x − 4(a + 1)y + 5a2 + 20a + 22 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−2; −2/3)
Решение
Соберём в первой строке полные квадраты: (x − (a + 6))2 + (y − (2a + 2))2 = 18. Это окружность с центром P(a + 6; 2a + 2) и радиусом 3.
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−a + 4| < 6 и |3a + 8| < 6.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 5a2 + 20a + 22 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−2; −2/3).
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−a + 4| < 6 и |3a + 8| < 6.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 5a2 + 20a + 22 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−2; −2/3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(a + 4)x − (8a + 6)y + 17a2 + 32a + 17 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 − 2(a + 4)x − (8a + 6)y + 17a2 + 32a + 17 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−1; −3/5)
Решение
Соберём в первой строке полные квадраты: (x − (a + 4))2 + (y − (4a + 3))2 = 8. Это окружность с центром P(a + 4; 4a + 3) и радиусом 2.
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−3a + 1| < 4 и |5a + 7| < 4.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 17a2 + 32a + 17 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; −3/5).
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−3a + 1| < 4 и |5a + 7| < 4.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 17a2 + 32a + 17 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; −3/5).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(a + 5)x − 4ay + 5a2 + 10a + 7 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 − 2(a + 5)x − 4ay + 5a2 + 10a + 7 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−1; 1/3)
Решение
Соберём в первой строке полные квадраты: (x − (a + 5))2 + (y − 2a)2 = 18. Это окружность с центром P(a + 5; 2a) и радиусом 3.
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−a + 5| < 6 и |3a + 5| < 6.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 5a2 + 10a + 7 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; 1/3).
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−a + 5| < 6 и |3a + 5| < 6.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 5a2 + 10a + 7 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; 1/3).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 2(a + 4)x − (4a + 2)y + 5a2 + 12a + 9 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
x2 + y2 − 2(a + 4)x − (4a + 2)y + 5a2 + 12a + 9 = 0y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−1; −1/3)
Решение
Соберём в первой строке полные квадраты: (x − (a + 4))2 + (y − (2a + 1))2 = 8. Это окружность с центром P(a + 4; 2a + 1) и радиусом 2.
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−a + 3| < 4 и |3a + 5| < 4.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 5a2 + 12a + 9 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; −1/3).
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x — пара перпендикулярных прямых, пересекающихся в начале координат.
Расстояние от точки (p; q) до прямой y = x равно |p − q| : , до прямой y = −x — |p + q| : . Каждая прямая даёт две точки, когда расстояние меньше радиуса.
Отсюда система из двух условий: |−a + 3| < 4 и |3a + 5| < 4.
(Случай «три решения», когда обе точки склеиваются в начале координат, здесь невозможен: 5a2 + 12a + 9 = 0 не имеет корней.)
Ответ: (−1; −1/3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.