Ровно четыре: (x+1/(x−a))² − (a+w)(…) + 2a(w−a) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x + 1x − a2 − (a + 6)x + 1x − a + 2a(6 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
x + 1x − a2 − (a + 6)x + 1x − a + 2a(6 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (4; +∞)
Решение
Обозначим u = x + 1x − a. Трёхчлен по u раскладывается: u2 − (a + 6)u + 2a(6 − a) = (u − 2a)(u − 6 + a) = 0.
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 6 − a — x2 − 6x + a(6 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 6)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 2).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (4; +∞).
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 6 − a — x2 − 6x + a(6 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 6)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 2).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (4; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x + 1x − a2 − (a + 7)x + 1x − a + 2a(7 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
x + 1x − a2 − (a + 7)x + 1x − a + 2a(7 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (2; 7/3) ∪ (7/3; 5/2) ∪ (9/2; +∞)
Решение
Обозначим u = x + 1x − a. Трёхчлен по u раскладывается: u2 − (a + 7)u + 2a(7 − a) = (u − 2a)(u − 7 + a) = 0.
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 7 − a — x2 − 7x + a(7 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 7)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 7/3).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 7/3) ∪ (7/3; 5/2) ∪ (9/2; +∞).
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 7 − a — x2 − 7x + a(7 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 7)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 7/3).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 7/3) ∪ (7/3; 5/2) ∪ (9/2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x + 1x − a2 − (a + 12)x + 1x − a + 2a(12 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
x + 1x − a2 − (a + 12)x + 1x − a + 2a(12 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (2; 4) ∪ (4; 5) ∪ (7; +∞)
Решение
Обозначим u = x + 1x − a. Трёхчлен по u раскладывается: u2 − (a + 12)u + 2a(12 − a) = (u − 2a)(u − 12 + a) = 0.
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 12 − a — x2 − 12x + a(12 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 12)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 4).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 4) ∪ (4; 5) ∪ (7; +∞).
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 12 − a — x2 − 12x + a(12 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 12)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 4).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 4) ∪ (4; 5) ∪ (7; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x + 1x − a2 − (a + 8)x + 1x − a + 2a(8 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
x + 1x − a2 − (a + 8)x + 1x − a + 2a(8 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (2; 8/3) ∪ (8/3; 3) ∪ (5; +∞)
Решение
Обозначим u = x + 1x − a. Трёхчлен по u раскладывается: u2 − (a + 8)u + 2a(8 − a) = (u − 2a)(u − 8 + a) = 0.
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 8 − a — x2 − 8x + a(8 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 8)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 8/3).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 8/3) ∪ (8/3; 3) ∪ (5; +∞).
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 8 − a — x2 − 8x + a(8 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 8)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 8/3).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 8/3) ∪ (8/3; 3) ∪ (5; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x + 1x − a2 − (a + 9)x + 1x − a + 2a(9 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
x + 1x − a2 − (a + 9)x + 1x − a + 2a(9 − a) = 0
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (2; 3) ∪ (3; 7/2) ∪ (11/2; +∞)
Решение
Обозначим u = x + 1x − a. Трёхчлен по u раскладывается: u2 − (a + 9)u + 2a(9 − a) = (u − 2a)(u − 9 + a) = 0.
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 9 − a — x2 − 9x + a(9 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 9)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 3).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 3) ∪ (3; 7/2) ∪ (11/2; +∞).
Равенство x + 1x − a = c равносильно (x − a)(x − c) + 1 = 0, то есть x2 − (a + c)x + ac + 1 = 0 (значение x = a корнем быть не может: подстановка даёт 1 = 0).
При c = 2a получаем x2 − 3ax + 2a2 + 1 = 0 с дискриминантом a2 − 4, при c = 9 − a — x2 − 9x + a(9 − a) + 1 = 0 с дискриминантом (2a − 9)2 − 4.
Четыре различных решения — когда оба дискриминанта положительны и уравнения не совпали (совпадение происходит при a = 3).
Ответ: (−∞; −2) ∪ (2; 3) ∪ (3; 7/2) ∪ (11/2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.