Ровно четыре: {(x+ay−c)(x+ay−ca)=0; окружность} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + ay − 29)(x + ay − 29a) = 0x2 + y2 = 441
имеет ровно четыре различных решения.
(x + ay − 29)(x + ay − 29a) = 0x2 + y2 = 441
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−21/20; −20/21) ∪ (20/21; 1) ∪ (1; 21/20)
Решение
Первая строка — две параллельные прямые x + ay = 29 и x + ay = 29a: у них общий вектор нормали (1; a), а при a = 1 они совпадают.
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 21 в двух точках ⟺ d2 < 441(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
841 < 441(1 + a2) ⟺ |a| > 20/21; 841a2 < 441(1 + a2) ⟺ |a| < 21/20; a ≠ 1.
Ответ: (−21/20; −20/21) ∪ (20/21; 1) ∪ (1; 21/20).
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 21 в двух точках ⟺ d2 < 441(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
841 < 441(1 + a2) ⟺ |a| > 20/21; 841a2 < 441(1 + a2) ⟺ |a| < 21/20; a ≠ 1.
Ответ: (−21/20; −20/21) ∪ (20/21; 1) ∪ (1; 21/20).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + ay − 10)(x + ay − 10a) = 0x2 + y2 = 64
имеет ровно четыре различных решения.
(x + ay − 10)(x + ay − 10a) = 0x2 + y2 = 64
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3)
Решение
Первая строка — две параллельные прямые x + ay = 10 и x + ay = 10a: у них общий вектор нормали (1; a), а при a = 1 они совпадают.
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 8 в двух точках ⟺ d2 < 64(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
100 < 64(1 + a2) ⟺ |a| > 3/4; 100a2 < 64(1 + a2) ⟺ |a| < 4/3; a ≠ 1.
Ответ: (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3).
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 8 в двух точках ⟺ d2 < 64(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
100 < 64(1 + a2) ⟺ |a| > 3/4; 100a2 < 64(1 + a2) ⟺ |a| < 4/3; a ≠ 1.
Ответ: (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + ay − 25)(x + ay − 25a) = 0x2 + y2 = 576
имеет ровно четыре различных решения.
(x + ay − 25)(x + ay − 25a) = 0x2 + y2 = 576
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−24/7; −7/24) ∪ (7/24; 1) ∪ (1; 24/7)
Решение
Первая строка — две параллельные прямые x + ay = 25 и x + ay = 25a: у них общий вектор нормали (1; a), а при a = 1 они совпадают.
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 24 в двух точках ⟺ d2 < 576(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
625 < 576(1 + a2) ⟺ |a| > 7/24; 625a2 < 576(1 + a2) ⟺ |a| < 24/7; a ≠ 1.
Ответ: (−24/7; −7/24) ∪ (7/24; 1) ∪ (1; 24/7).
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 24 в двух точках ⟺ d2 < 576(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
625 < 576(1 + a2) ⟺ |a| > 7/24; 625a2 < 576(1 + a2) ⟺ |a| < 24/7; a ≠ 1.
Ответ: (−24/7; −7/24) ∪ (7/24; 1) ∪ (1; 24/7).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + ay − 17)(x + ay − 17a) = 0x2 + y2 = 225
имеет ровно четыре различных решения.
(x + ay − 17)(x + ay − 17a) = 0x2 + y2 = 225
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−15/8; −8/15) ∪ (8/15; 1) ∪ (1; 15/8)
Решение
Первая строка — две параллельные прямые x + ay = 17 и x + ay = 17a: у них общий вектор нормали (1; a), а при a = 1 они совпадают.
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 15 в двух точках ⟺ d2 < 225(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
289 < 225(1 + a2) ⟺ |a| > 8/15; 289a2 < 225(1 + a2) ⟺ |a| < 15/8; a ≠ 1.
Ответ: (−15/8; −8/15) ∪ (8/15; 1) ∪ (1; 15/8).
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 15 в двух точках ⟺ d2 < 225(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
289 < 225(1 + a2) ⟺ |a| > 8/15; 289a2 < 225(1 + a2) ⟺ |a| < 15/8; a ≠ 1.
Ответ: (−15/8; −8/15) ∪ (8/15; 1) ∪ (1; 15/8).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + ay − 5)(x + ay − 5a) = 0x2 + y2 = 16
имеет ровно четыре различных решения.
(x + ay − 5)(x + ay − 5a) = 0x2 + y2 = 16
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3)
Решение
Первая строка — две параллельные прямые x + ay = 5 и x + ay = 5a: у них общий вектор нормали (1; a), а при a = 1 они совпадают.
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 4 в двух точках ⟺ d2 < 16(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
25 < 16(1 + a2) ⟺ |a| > 3/4; 25a2 < 16(1 + a2) ⟺ |a| < 4/3; a ≠ 1.
Ответ: (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3).
Расстояние от начала координат до прямой x + ay = d равно |d| : , поэтому такая прямая пересекает окружность радиуса 4 в двух точках ⟺ d2 < 16(1 + a2).
Четыре различных решения — когда каждая из прямых даёт по две точки и прямые не совпали:
25 < 16(1 + a2) ⟺ |a| > 3/4; 25a2 < 16(1 + a2) ⟺ |a| < 4/3; a ≠ 1.
Ответ: (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.