Ровно четыре: {x⁴−y⁴=pa−q; x²+y²=a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x4 − y4 = 5a − 6x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
x4 − y4 = 5a − 6x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(1; 2) ∪ (3; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и v = y2 ≥ 0. Тогда u + v = a, а x4 − y4 = (u − v)(u + v) = a(u − v) = 5a − 6.
При a = 0 первая строка даёт −6 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (5a − 6)/a, откуда
u = a2 + 5a − 62a = (a + 6)(a − 1)2a, v = a2 − 5a + 62a = (a − 2)(a − 3)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (1; 2) ∪ (3; +∞).
При a = 0 первая строка даёт −6 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (5a − 6)/a, откуда
u = a2 + 5a − 62a = (a + 6)(a − 1)2a, v = a2 − 5a + 62a = (a − 2)(a − 3)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (1; 2) ∪ (3; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x4 − y4 = 10a − 24x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
x4 − y4 = 10a − 24x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(2; 4) ∪ (6; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и v = y2 ≥ 0. Тогда u + v = a, а x4 − y4 = (u − v)(u + v) = a(u − v) = 10a − 24.
При a = 0 первая строка даёт −24 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (10a − 24)/a, откуда
u = a2 + 10a − 242a = (a + 12)(a − 2)2a, v = a2 − 10a + 242a = (a − 4)(a − 6)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (2; 4) ∪ (6; +∞).
При a = 0 первая строка даёт −24 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (10a − 24)/a, откуда
u = a2 + 10a − 242a = (a + 12)(a − 2)2a, v = a2 − 10a + 242a = (a − 4)(a − 6)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (2; 4) ∪ (6; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x4 − y4 = 15a − 54x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
x4 − y4 = 15a − 54x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(3; 6) ∪ (9; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и v = y2 ≥ 0. Тогда u + v = a, а x4 − y4 = (u − v)(u + v) = a(u − v) = 15a − 54.
При a = 0 первая строка даёт −54 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (15a − 54)/a, откуда
u = a2 + 15a − 542a = (a + 18)(a − 3)2a, v = a2 − 15a + 542a = (a − 6)(a − 9)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (3; 6) ∪ (9; +∞).
При a = 0 первая строка даёт −54 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (15a − 54)/a, откуда
u = a2 + 15a − 542a = (a + 18)(a − 3)2a, v = a2 − 15a + 542a = (a − 6)(a − 9)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (3; 6) ∪ (9; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x4 − y4 = 20a − 96x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
x4 − y4 = 20a − 96x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(4; 8) ∪ (12; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и v = y2 ≥ 0. Тогда u + v = a, а x4 − y4 = (u − v)(u + v) = a(u − v) = 20a − 96.
При a = 0 первая строка даёт −96 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (20a − 96)/a, откуда
u = a2 + 20a − 962a = (a + 24)(a − 4)2a, v = a2 − 20a + 962a = (a − 8)(a − 12)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (4; 8) ∪ (12; +∞).
При a = 0 первая строка даёт −96 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (20a − 96)/a, откуда
u = a2 + 20a − 962a = (a + 24)(a − 4)2a, v = a2 − 20a + 962a = (a − 8)(a − 12)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (4; 8) ∪ (12; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x4 − y4 = 17a − 60x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
x4 − y4 = 17a − 60x2 + y2 = a
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(3; 5) ∪ (12; +∞)
Решение
Обозначим u = x2 ≥ 0 и v = y2 ≥ 0. Тогда u + v = a, а x4 − y4 = (u − v)(u + v) = a(u − v) = 17a − 60.
При a = 0 первая строка даёт −60 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (17a − 60)/a, откуда
u = a2 + 17a − 602a = (a + 20)(a − 3)2a, v = a2 − 17a + 602a = (a − 5)(a − 12)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (3; 5) ∪ (12; +∞).
При a = 0 первая строка даёт −60 = 0 — решений нет. При a ≠ 0 получаем u − v = (17a − 60)/a, откуда
u = a2 + 17a − 602a = (a + 20)(a − 3)2a, v = a2 − 17a + 602a = (a − 5)(a − 12)2a.
Каждое из условий u > 0 и v > 0 даёт по два значения (x = ±, y = ±), значит четыре различных решения получаются ровно тогда, когда u > 0 и v > 0 одновременно.
Ответ: (3; 5) ∪ (12; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.