Ровно четыре: {y=(a+p)x²+2ax+a−p; y²=k²x²} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 1)x2 + 2ax + a − 1y2 = 9x2
имеет ровно четыре различных решения.
y = (a + 1)x2 + 2ax + a − 1y2 = 9x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−13/12; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 13/12)
Решение
Вторая строка ⟺ y = 3x или y = −3x.
Подстановка y = 3x: (a + 1)x2 + (2a − 3)x + a − 1 = 0, дискриминант равен −12a + 13.
Подстановка y = −3x: (a + 1)x2 + (2a + 3)x + a − 1 = 0, дискриминант равен 12a + 13.
Оба положительны ⟺ |a| < 13/12. При a = −1 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 1 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−13/12; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 13/12).
Подстановка y = 3x: (a + 1)x2 + (2a − 3)x + a − 1 = 0, дискриминант равен −12a + 13.
Подстановка y = −3x: (a + 1)x2 + (2a + 3)x + a − 1 = 0, дискриминант равен 12a + 13.
Оба положительны ⟺ |a| < 13/12. При a = −1 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 1 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−13/12; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 13/12).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 2)x2 + 2ax + a − 2y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
y = (a + 2)x2 + 2ax + a − 2y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−17/4; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 17/4)
Решение
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x.
Подстановка y = x: (a + 2)x2 + (2a − 1)x + a − 2 = 0, дискриминант равен −4a + 17.
Подстановка y = −x: (a + 2)x2 + (2a + 1)x + a − 2 = 0, дискриминант равен 4a + 17.
Оба положительны ⟺ |a| < 17/4. При a = −2 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 2 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−17/4; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 17/4).
Подстановка y = x: (a + 2)x2 + (2a − 1)x + a − 2 = 0, дискриминант равен −4a + 17.
Подстановка y = −x: (a + 2)x2 + (2a + 1)x + a − 2 = 0, дискриминант равен 4a + 17.
Оба положительны ⟺ |a| < 17/4. При a = −2 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 2 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−17/4; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 17/4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 2)x2 + 2ax + a − 2y2 = 9x2
имеет ровно четыре различных решения.
y = (a + 2)x2 + 2ax + a − 2y2 = 9x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−25/12; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 25/12)
Решение
Вторая строка ⟺ y = 3x или y = −3x.
Подстановка y = 3x: (a + 2)x2 + (2a − 3)x + a − 2 = 0, дискриминант равен −12a + 25.
Подстановка y = −3x: (a + 2)x2 + (2a + 3)x + a − 2 = 0, дискриминант равен 12a + 25.
Оба положительны ⟺ |a| < 25/12. При a = −2 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 2 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−25/12; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 25/12).
Подстановка y = 3x: (a + 2)x2 + (2a − 3)x + a − 2 = 0, дискриминант равен −12a + 25.
Подстановка y = −3x: (a + 2)x2 + (2a + 3)x + a − 2 = 0, дискриминант равен 12a + 25.
Оба положительны ⟺ |a| < 25/12. При a = −2 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 2 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−25/12; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 25/12).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 1)x2 + 2ax + a − 1y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
y = (a + 1)x2 + 2ax + a − 1y2 = x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−5/4; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 5/4)
Решение
Вторая строка ⟺ y = x или y = −x.
Подстановка y = x: (a + 1)x2 + (2a − 1)x + a − 1 = 0, дискриминант равен −4a + 5.
Подстановка y = −x: (a + 1)x2 + (2a + 1)x + a − 1 = 0, дискриминант равен 4a + 5.
Оба положительны ⟺ |a| < 5/4. При a = −1 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 1 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−5/4; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 5/4).
Подстановка y = x: (a + 1)x2 + (2a − 1)x + a − 1 = 0, дискриминант равен −4a + 5.
Подстановка y = −x: (a + 1)x2 + (2a + 1)x + a − 1 = 0, дискриминант равен 4a + 5.
Оба положительны ⟺ |a| < 5/4. При a = −1 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 1 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−5/4; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 5/4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 4)x2 + 2ax + a − 4y2 = 9x2
имеет ровно четыре различных решения.
y = (a + 4)x2 + 2ax + a − 4y2 = 9x2
имеет ровно четыре различных решения.
Показать ответ
(−73/12; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 73/12)
Решение
Вторая строка ⟺ y = 3x или y = −3x.
Подстановка y = 3x: (a + 4)x2 + (2a − 3)x + a − 4 = 0, дискриминант равен −12a + 73.
Подстановка y = −3x: (a + 4)x2 + (2a + 3)x + a − 4 = 0, дискриминант равен 12a + 73.
Оба положительны ⟺ |a| < 73/12. При a = −4 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 4 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−73/12; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 73/12).
Подстановка y = 3x: (a + 4)x2 + (2a − 3)x + a − 4 = 0, дискриминант равен −12a + 73.
Подстановка y = −3x: (a + 4)x2 + (2a + 3)x + a − 4 = 0, дискриминант равен 12a + 73.
Оба положительны ⟺ |a| < 73/12. При a = −4 обнуляется старший коэффициент (каждое уравнение даёт по одному корню — всего два решения), а при a = 4 у обоих уравнений появляется общий корень x = 0, и различных решений три.
Ответ: (−73/12; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 73/12).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.