Ровно два: ((a−1)x²+bx)² − 2(…) + 1 − a² = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1)x2 + 6x2 − 2((a − 1)x2 + 6x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(a − 1)x2 + 6x2 − 2((a − 1)x2 + 6x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (4; +∞)
Решение
Обозначим t = (a − 1)x2 + 6x. Тогда t2 − 2t + 1 = a2, то есть (t − 1)2 = a2 и t = 1 + a или t = 1 − a.
Первое даёт (a − 1)x2 + 6x − 1 − a = 0 с дискриминантом 36 + 4(a − 1)(a + 1) = 36 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 6x + a − 1 = 0 с дискриминантом 36 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 3, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (4; +∞).
Первое даёт (a − 1)x2 + 6x − 1 − a = 0 с дискриминантом 36 + 4(a − 1)(a + 1) = 36 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 6x + a − 1 = 0 с дискриминантом 36 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 3, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (4; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1)x2 + 4x2 − 2((a − 1)x2 + 4x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(a − 1)x2 + 4x2 − 2((a − 1)x2 + 4x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (3; +∞)
Решение
Обозначим t = (a − 1)x2 + 4x. Тогда t2 − 2t + 1 = a2, то есть (t − 1)2 = a2 и t = 1 + a или t = 1 − a.
Первое даёт (a − 1)x2 + 4x − 1 − a = 0 с дискриминантом 16 + 4(a − 1)(a + 1) = 16 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 4x + a − 1 = 0 с дискриминантом 16 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 2, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −1) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (3; +∞).
Первое даёт (a − 1)x2 + 4x − 1 − a = 0 с дискриминантом 16 + 4(a − 1)(a + 1) = 16 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 4x + a − 1 = 0 с дискриминантом 16 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 2, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −1) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (3; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1)x2 + 5x2 − 2((a − 1)x2 + 5x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(a − 1)x2 + 5x2 − 2((a − 1)x2 + 5x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −3/2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (7/2; +∞)
Решение
Обозначим t = (a − 1)x2 + 5x. Тогда t2 − 2t + 1 = a2, то есть (t − 1)2 = a2 и t = 1 + a или t = 1 − a.
Первое даёт (a − 1)x2 + 5x − 1 − a = 0 с дискриминантом 25 + 4(a − 1)(a + 1) = 25 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 5x + a − 1 = 0 с дискриминантом 25 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 5/2, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −3/2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (7/2; +∞).
Первое даёт (a − 1)x2 + 5x − 1 − a = 0 с дискриминантом 25 + 4(a − 1)(a + 1) = 25 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 5x + a − 1 = 0 с дискриминантом 25 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 5/2, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −3/2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (7/2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1)x2 + 2x2 − 2((a − 1)x2 + 2x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(a − 1)x2 + 2x2 − 2((a − 1)x2 + 2x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ {1} ∪ (2; +∞)
Решение
Обозначим t = (a − 1)x2 + 2x. Тогда t2 − 2t + 1 = a2, то есть (t − 1)2 = a2 и t = 1 + a или t = 1 − a.
Первое даёт (a − 1)x2 + 2x − 1 − a = 0 с дискриминантом 4 + 4(a − 1)(a + 1) = 4 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 2x + a − 1 = 0 с дискриминантом 4 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 1, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1} ∪ (2; +∞).
Первое даёт (a − 1)x2 + 2x − 1 − a = 0 с дискриминантом 4 + 4(a − 1)(a + 1) = 4 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 2x + a − 1 = 0 с дискриминантом 4 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 1, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1} ∪ (2; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(a − 1)x2 + 3x2 − 2((a − 1)x2 + 3x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(a − 1)x2 + 3x2 − 2((a − 1)x2 + 3x) + 1 − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1/2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (5/2; +∞)
Решение
Обозначим t = (a − 1)x2 + 3x. Тогда t2 − 2t + 1 = a2, то есть (t − 1)2 = a2 и t = 1 + a или t = 1 − a.
Первое даёт (a − 1)x2 + 3x − 1 − a = 0 с дискриминантом 9 + 4(a − 1)(a + 1) = 9 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 3x + a − 1 = 0 с дискриминантом 9 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 3/2, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (5/2; +∞).
Первое даёт (a − 1)x2 + 3x − 1 − a = 0 с дискриминантом 9 + 4(a − 1)(a + 1) = 9 + 4a2 − 4, второе — (a − 1)x2 + 3x + a − 1 = 0 с дискриминантом 9 − 4(a − 1)2.
При a = 1 оба уравнения линейные и дают ровно два корня; при a = 0 они совпадают.
Ровно два различных решения — когда второе уравнение корней не имеет, то есть |a − 1| > 3/2, плюс отдельные значения a = 0 и a = 1.
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (5/2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.