Ровно два корня: a|x−p| = c/(x+q) на [0;+∞) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x − 5| = 6x + 1
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
a|x − 5| = 6x + 1
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
Показать ответ
{2/3} ∪ (6/5; +∞)
Решение
На [0; +∞) знаменатель положителен, поэтому уравнение равносильно a|x − 5|(x + 1) = 6.
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 5|(x + 1): на [0; 5] это парабола ветвями вниз со значением 5 в нуле и наибольшим значением 9 в точке x = 2, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 6/a и даёт ответ.
Ответ: {2/3} ∪ (6/5; +∞).
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 5|(x + 1): на [0; 5] это парабола ветвями вниз со значением 5 в нуле и наибольшим значением 9 в точке x = 2, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 6/a и даёт ответ.
Ответ: {2/3} ∪ (6/5; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x − 3| = 12x + 4
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
a|x − 3| = 12x + 4
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
Показать ответ
[1; +∞)
Решение
На [0; +∞) знаменатель положителен, поэтому уравнение равносильно a|x − 3|(x + 4) = 12.
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 3|(x + 4): на [0; 3] это парабола ветвями вниз со значением 12 в нуле и наибольшим значением 49/4 в точке x = −1/2, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 12/a и даёт ответ.
Ответ: [1; +∞).
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 3|(x + 4): на [0; 3] это парабола ветвями вниз со значением 12 в нуле и наибольшим значением 49/4 в точке x = −1/2, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 12/a и даёт ответ.
Ответ: [1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x − 2| = 10x + 4
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
a|x − 2| = 10x + 4
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
Показать ответ
[5/4; +∞)
Решение
На [0; +∞) знаменатель положителен, поэтому уравнение равносильно a|x − 2|(x + 4) = 10.
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 2|(x + 4): на [0; 2] это парабола ветвями вниз со значением 8 в нуле и наибольшим значением 9 в точке x = −1, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 10/a и даёт ответ.
Ответ: [5/4; +∞).
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 2|(x + 4): на [0; 2] это парабола ветвями вниз со значением 8 в нуле и наибольшим значением 9 в точке x = −1, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 10/a и даёт ответ.
Ответ: [5/4; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x − 3| = 9x + 1
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
a|x − 3| = 9x + 1
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
Показать ответ
{9/4} ∪ (3; +∞)
Решение
На [0; +∞) знаменатель положителен, поэтому уравнение равносильно a|x − 3|(x + 1) = 9.
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 3|(x + 1): на [0; 3] это парабола ветвями вниз со значением 3 в нуле и наибольшим значением 4 в точке x = 1, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 9/a и даёт ответ.
Ответ: {9/4} ∪ (3; +∞).
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 3|(x + 1): на [0; 3] это парабола ветвями вниз со значением 3 в нуле и наибольшим значением 4 в точке x = 1, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 9/a и даёт ответ.
Ответ: {9/4} ∪ (3; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a|x − 3| = 10x + 4
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
a|x − 3| = 10x + 4
на промежутке [0; +∞) имеет ровно два корня.
Показать ответ
[5/6; +∞)
Решение
На [0; +∞) знаменатель положителен, поэтому уравнение равносильно a|x − 3|(x + 4) = 10.
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 3|(x + 4): на [0; 3] это парабола ветвями вниз со значением 12 в нуле и наибольшим значением 49/4 в точке x = −1/2, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 10/a и даёт ответ.
Ответ: [5/6; +∞).
При a = 0 решений нет. При a ≠ 0 обозначим h(x) = |x − 3|(x + 4): на [0; 3] это парабола ветвями вниз со значением 12 в нуле и наибольшим значением 49/4 в точке x = −1/2, дальше — возрастающая ветвь от нуля.
Число корней уравнения h(x) = 10/a и даёт ответ.
Ответ: [5/6; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.