Ровно два корня: √(bˣ−a) + (a−c)/√(bˣ−a) = m — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ a − 1 = 1
имеет ровно два различных корня.
+ a − 1 = 1
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(1; 5/4)
Решение
Обозначим u = √(5x − a) > 0 (нуль запрещён знаменателем). Умножая на u, получаем u2 − u + a − 1 = 0.
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = u + 1 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 1 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 1) > 0.
Отсюда 1 < a < 5/4.
Ответ: (1; 5/4).
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = u + 1 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 1 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 1) > 0.
Отсюда 1 < a < 5/4.
Ответ: (1; 5/4).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ a − 3 = 1
имеет ровно два различных корня.
+ a − 3 = 1
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(3; 13/4)
Решение
Обозначим u = √(2x − a) > 0 (нуль запрещён знаменателем). Умножая на u, получаем u2 − u + a − 3 = 0.
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 2x = u2 + a = u + 3 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 3 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 3) > 0.
Отсюда 3 < a < 13/4.
Ответ: (3; 13/4).
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 2x = u2 + a = u + 3 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 3 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 3) > 0.
Отсюда 3 < a < 13/4.
Ответ: (3; 13/4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ a − 3 = 1
имеет ровно два различных корня.
+ a − 3 = 1
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(3; 13/4)
Решение
Обозначим u = √(5x − a) > 0 (нуль запрещён знаменателем). Умножая на u, получаем u2 − u + a − 3 = 0.
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = u + 3 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 3 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 3) > 0.
Отсюда 3 < a < 13/4.
Ответ: (3; 13/4).
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = u + 3 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 3 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 3) > 0.
Отсюда 3 < a < 13/4.
Ответ: (3; 13/4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ a − 2 = 1
имеет ровно два различных корня.
+ a − 2 = 1
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(2; 9/4)
Решение
Обозначим u = √(5x − a) > 0 (нуль запрещён знаменателем). Умножая на u, получаем u2 − u + a − 2 = 0.
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = u + 2 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 2 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 2) > 0.
Отсюда 2 < a < 9/4.
Ответ: (2; 9/4).
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = u + 2 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 1 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 2 > 0 и дискриминант 1 − 4(a − 2) > 0.
Отсюда 2 < a < 9/4.
Ответ: (2; 9/4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ a − 4 = 3
имеет ровно два различных корня.
+ a − 4 = 3
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(4; 25/4)
Решение
Обозначим u = √(5x − a) > 0 (нуль запрещён знаменателем). Умножая на u, получаем u2 − 3u + a − 4 = 0.
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = 3u + 4 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 3 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 4 > 0 и дискриминант 9 − 4(a − 4) > 0.
Отсюда 4 < a < 25/4.
Ответ: (4; 25/4).
По каждому положительному u восстанавливается ровно один x: 5x = u2 + a = 3u + 4 > 0.
Значит нужно ровно два различных положительных корня квадратного уравнения: их сумма 3 > 0 уже положительна, поэтому остаётся произведение a − 4 > 0 и дискриминант 9 − 4(a − 4) > 0.
Отсюда 4 < a < 25/4.
Ответ: (4; 25/4).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.