Ровно два корня: k₁x − |k₂x − |x+a|| = k₃|x−u| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
5x − |3x − |x + a|| = 6|x − 1|
имеет ровно два корня.
5x − |3x − |x + a|| = 6|x − 1|
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(−24; 12)
Решение
Обе части кусочно-линейны, поэтому достаточно разбить ось точками излома: x = −a (внутренний модуль), x = 1 (правая часть) и нуль выражения 3x − |x + a| (внешний модуль).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 5 − s2(3 − s1) − 6s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 6s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−24; 12).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 5 − s2(3 − s1) − 6s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 6s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−24; 12).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
5x − |2x − |x + a|| = 12|x − 4|
имеет ровно два корня.
5x − |2x − |x + a|| = 12|x − 4|
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(−32; 24)
Решение
Обе части кусочно-линейны, поэтому достаточно разбить ось точками излома: x = −a (внутренний модуль), x = 4 (правая часть) и нуль выражения 2x − |x + a| (внешний модуль).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 5 − s2(2 − s1) − 12s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 48s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−32; 24).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 5 − s2(2 − s1) − 12s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 48s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−32; 24).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − |4x − |x + a|| = 8|x − 4|
имеет ровно два корня.
2x − |4x − |x + a|| = 8|x − 4|
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(−28; −12) ∪ (4; 20)
Решение
Обе части кусочно-линейны, поэтому достаточно разбить ось точками излома: x = −a (внутренний модуль), x = 4 (правая часть) и нуль выражения 4x − |x + a| (внешний модуль).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 2 − s2(4 − s1) − 8s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 32s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−28; −12) ∪ (4; 20).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 2 − s2(4 − s1) − 8s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 32s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−28; −12) ∪ (4; 20).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x − |2x − |x + a|| = 12|x − 2|
имеет ровно два корня.
3x − |2x − |x + a|| = 12|x − 2|
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(−12; 8)
Решение
Обе части кусочно-линейны, поэтому достаточно разбить ось точками излома: x = −a (внутренний модуль), x = 2 (правая часть) и нуль выражения 2x − |x + a| (внешний модуль).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 3 − s2(2 − s1) − 12s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 24s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−12; 8).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 3 − s2(2 − s1) − 12s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 24s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−12; 8).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
5x − |2x − |x + a|| = 9|x − 3|
имеет ровно два корня.
5x − |2x − |x + a|| = 9|x − 3|
имеет ровно два корня.
Показать ответ
(−24; 18)
Решение
Обе части кусочно-линейны, поэтому достаточно разбить ось точками излома: x = −a (внутренний модуль), x = 3 (правая часть) и нуль выражения 2x − |x + a| (внешний модуль).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 5 − s2(2 − s1) − 9s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 27s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−24; 18).
Внутри каждого куска уравнение линейно: c1x + c0 = 0, где c1 = 5 − s2(2 − s1) − 9s3 зависит только от знаков, а c0 = s1s2a + 27s3 линейно по a.
Значит на куске бывает не больше одного корня, а если c1 = 0 и c0 = 0 — весь кусок состоит из корней (такие a не подходят).
Все точки излома и все корни линейны по a, поэтому конфигурация меняется лишь в конечном числе рациональных точек; перебирая промежутки между ними, получаем ответ.
Ответ: (−24; 18).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.