Ровно два корня: log_{a−p}(kx²+c) = log_{a−p}(k(a−q)x+d) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Логарифмические с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
loga − 4,5(4x2 + 8) = loga − 4,5(4(a − 3)x + 9)
имеет ровно два различных корня.
loga − 4,5(4x2 + 8) = loga − 4,5(4(a − 3)x + 9)
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(9/2; 11/2) ∪ (11/2; +∞)
Решение
Основание логарифма обязано быть положительным и не равным единице: a − 4,5 > 0 и a − 4,5 ≠ 1, то есть a > 4,5 и a ≠ 5,5.
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 4x2 + 8 = 4(a − 3)x + 9. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 4x2 − 4(a − 3)x − 1 = 0. Его дискриминант 16(a − 3)2 + 16 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (9/2; 11/2) ∪ (11/2; +∞).
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 4x2 + 8 = 4(a − 3)x + 9. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 4x2 − 4(a − 3)x − 1 = 0. Его дискриминант 16(a − 3)2 + 16 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (9/2; 11/2) ∪ (11/2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
loga − 1(3x2 + 8) = loga − 1(3(a − 2)x + 9)
имеет ровно два различных корня.
loga − 1(3x2 + 8) = loga − 1(3(a − 2)x + 9)
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(1; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
Основание логарифма обязано быть положительным и не равным единице: a − 1 > 0 и a − 1 ≠ 1, то есть a > 1 и a ≠ 2.
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 3x2 + 8 = 3(a − 2)x + 9. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 3x2 − 3(a − 2)x − 1 = 0. Его дискриминант 9(a − 2)2 + 12 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (1; 2) ∪ (2; +∞).
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 3x2 + 8 = 3(a − 2)x + 9. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 3x2 − 3(a − 2)x − 1 = 0. Его дискриминант 9(a − 2)2 + 12 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (1; 2) ∪ (2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
loga − 2,5(4x2 + 4) = loga − 2,5(4(a − 1)x + 13)
имеет ровно два различных корня.
loga − 2,5(4x2 + 4) = loga − 2,5(4(a − 1)x + 13)
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(5/2; 7/2) ∪ (7/2; +∞)
Решение
Основание логарифма обязано быть положительным и не равным единице: a − 2,5 > 0 и a − 2,5 ≠ 1, то есть a > 2,5 и a ≠ 3,5.
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 4x2 + 4 = 4(a − 1)x + 13. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 4x2 − 4(a − 1)x − 9 = 0. Его дискриминант 16(a − 1)2 + 144 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (5/2; 7/2) ∪ (7/2; +∞).
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 4x2 + 4 = 4(a − 1)x + 13. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 4x2 − 4(a − 1)x − 9 = 0. Его дискриминант 16(a − 1)2 + 144 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (5/2; 7/2) ∪ (7/2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
loga − 1,5(2x2 + 3) = loga − 1,5(2(a − 1)x + 4)
имеет ровно два различных корня.
loga − 1,5(2x2 + 3) = loga − 1,5(2(a − 1)x + 4)
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(3/2; 5/2) ∪ (5/2; +∞)
Решение
Основание логарифма обязано быть положительным и не равным единице: a − 1,5 > 0 и a − 1,5 ≠ 1, то есть a > 1,5 и a ≠ 2,5.
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 2x2 + 3 = 2(a − 1)x + 4. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 2x2 − 2(a − 1)x − 1 = 0. Его дискриминант 4(a − 1)2 + 8 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (3/2; 5/2) ∪ (5/2; +∞).
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 2x2 + 3 = 2(a − 1)x + 4. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 2x2 − 2(a − 1)x − 1 = 0. Его дискриминант 4(a − 1)2 + 8 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (3/2; 5/2) ∪ (5/2; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
loga − 1(3x2 + 3) = loga − 1(3(a − 2)x + 4)
имеет ровно два различных корня.
loga − 1(3x2 + 3) = loga − 1(3(a − 2)x + 4)
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(1; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
Основание логарифма обязано быть положительным и не равным единице: a − 1 > 0 и a − 1 ≠ 1, то есть a > 1 и a ≠ 2.
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 3x2 + 3 = 3(a − 2)x + 4. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 3x2 − 3(a − 2)x − 1 = 0. Его дискриминант 9(a − 2)2 + 12 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (1; 2) ∪ (2; +∞).
При таком основании равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 3x2 + 3 = 3(a − 2)x + 4. Левая часть положительна всегда, значит и правая при этом положительна автоматически — отдельного условия ОДЗ не возникает.
Получаем 3x2 − 3(a − 2)x − 1 = 0. Его дискриминант 9(a − 2)2 + 12 положителен при ЛЮБОМ a, поэтому различных корней всегда ровно два.
Значит ответ определяется только условиями на основание.
Ответ: (1; 2) ∪ (2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.