Ровно два корня: (pa/(a−q))·b^|x| = b²^|x| + (ra+s)/(a−q) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4aa − 2·5|x| = 25|x| + 2a + 3a − 2
имеет ровно два различных корня.
4aa − 2·5|x| = 25|x| + 2a + 3a − 2
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−∞; 1) ∪ (2; +∞)
Решение
Значение a = 2 невозможно (знаменатели обращаются в нуль). Обозначим t = 5|x| ≥ 1: каждому t > 1 отвечают ДВА корня x = ±log5t, а t = 1 даёт ровно один корень x = 0.
Так как 25|x| = t2, после умножения на (a − 2) уравнение принимает вид (a − 2)t2 − 4a·t + 2a + 3 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = 1, а дискриминант равен 8a2 + 4a + 24.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (−∞; 1) ∪ (2; +∞).
Так как 25|x| = t2, после умножения на (a − 2) уравнение принимает вид (a − 2)t2 − 4a·t + 2a + 3 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = 1, а дискриминант равен 8a2 + 4a + 24.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (−∞; 1) ∪ (2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4aa − 3·5|x| = 25|x| + 4a + 7a − 3
имеет ровно два различных корня.
4aa − 3·5|x| = 25|x| + 4a + 7a − 3
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
{−21/5} ∪ (−4; 3)
Решение
Значение a = 3 невозможно (знаменатели обращаются в нуль). Обозначим t = 5|x| ≥ 1: каждому t > 1 отвечают ДВА корня x = ±log5t, а t = 1 даёт ровно один корень x = 0.
Так как 25|x| = t2, после умножения на (a − 3) уравнение принимает вид (a − 3)t2 − 4a·t + 4a + 7 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = −4, а дискриминант равен + 20a + 84.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: {−21/5} ∪ (−4; 3).
Так как 25|x| = t2, после умножения на (a − 3) уравнение принимает вид (a − 3)t2 − 4a·t + 4a + 7 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = −4, а дискриминант равен + 20a + 84.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: {−21/5} ∪ (−4; 3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4aa − 3·2|x| = 4|x| + 4a + 3a − 3
имеет ровно два различных корня.
4aa − 3·2|x| = 4|x| + 4a + 3a − 3
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(0; 3)
Решение
Значение a = 3 невозможно (знаменатели обращаются в нуль). Обозначим t = 2|x| ≥ 1: каждому t > 1 отвечают ДВА корня x = ±log2t, а t = 1 даёт ровно один корень x = 0.
Так как 4|x| = t2, после умножения на (a − 3) уравнение принимает вид (a − 3)t2 − 4a·t + 4a + 3 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = 0, а дискриминант равен + 36a + 36.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (0; 3).
Так как 4|x| = t2, после умножения на (a − 3) уравнение принимает вид (a − 3)t2 − 4a·t + 4a + 3 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = 0, а дискриминант равен + 36a + 36.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (0; 3).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4aa − 2·2|x| = 4|x| + 4a + 9a − 2
имеет ровно два различных корня.
4aa − 2·2|x| = 4|x| + 4a + 9a − 2
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−7; 2) ∪ {18}
Решение
Значение a = 2 невозможно (знаменатели обращаются в нуль). Обозначим t = 2|x| ≥ 1: каждому t > 1 отвечают ДВА корня x = ±log2t, а t = 1 даёт ровно один корень x = 0.
Так как 4|x| = t2, после умножения на (a − 2) уравнение принимает вид (a − 2)t2 − 4a·t + 4a + 9 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = −7, а дискриминант равен − 4a + 72.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (−7; 2) ∪ {18}.
Так как 4|x| = t2, после умножения на (a − 2) уравнение принимает вид (a − 2)t2 − 4a·t + 4a + 9 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = −7, а дискриминант равен − 4a + 72.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (−7; 2) ∪ {18}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3aa − 3·3|x| = 9|x| + 4a + 3a − 3
имеет ровно два различных корня.
3aa − 3·3|x| = 9|x| + 4a + 3a − 3
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(0; 3) ∪ {6}
Решение
Значение a = 3 невозможно (знаменатели обращаются в нуль). Обозначим t = 3|x| ≥ 1: каждому t > 1 отвечают ДВА корня x = ±log3t, а t = 1 даёт ровно один корень x = 0.
Так как 9|x| = t2, после умножения на (a − 3) уравнение принимает вид (a − 3)t2 − 3a·t + 4a + 3 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = 0, а дискриминант равен −7a2 + 36a + 36.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (0; 3) ∪ {6}.
Так как 9|x| = t2, после умножения на (a − 3) уравнение принимает вид (a − 3)t2 − 3a·t + 4a + 3 = 0.
Значение t = 1 является корнем при a = 0, а дискриминант равен −7a2 + 36a + 36.
Ровно два корня — это ровно одно значение t > 1 и при этом t = 1 корнем не является.
Ответ: (0; 3) ∪ {6}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.