Ровно два: общий множитель + круг области определения логарифма — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x + 6)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 6)2 + y2 − a2)(x + y − a + 6) = 0
имеет ровно два различных решения.
((x + 6)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 6)2 + y2 − a2)(x + y − a + 6) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(2; 3] ∪ [9; 10)
Решение
Общий множитель (x + 6)2 + y2 − a2 обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует x2 + y2 < 9 — ОТКРЫТЫЙ круг радиуса 3.
Окружность (x + 6)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−6; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 6, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 6 − 3 < |a| < 6 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 3 и |a| = 9 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 3 или |a| ≥ 9 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 6.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 6| < 4.
Ответ: (2; 3] ∪ [9; 10).
Окружность (x + 6)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−6; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 6, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 6 − 3 < |a| < 6 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 3 и |a| = 9 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 3 или |a| ≥ 9 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 6.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 6| < 4.
Ответ: (2; 3] ∪ [9; 10).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x + 4)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 4)2 + y2 − a2)(x + y − a + 4) = 0
имеет ровно два различных решения.
((x + 4)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 4)2 + y2 − a2)(x + y − a + 4) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(0; 1] ∪ [7; 8)
Решение
Общий множитель (x + 4)2 + y2 − a2 обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует x2 + y2 < 9 — ОТКРЫТЫЙ круг радиуса 3.
Окружность (x + 4)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−4; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 4, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 4 − 3 < |a| < 4 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 1 и |a| = 7 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 1 или |a| ≥ 7 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 4.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 4| < 4.
Ответ: (0; 1] ∪ [7; 8).
Окружность (x + 4)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−4; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 4, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 4 − 3 < |a| < 4 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 1 и |a| = 7 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 1 или |a| ≥ 7 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 4.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 4| < 4.
Ответ: (0; 1] ∪ [7; 8).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x + 5)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 5)2 + y2 − a2)(x + y − a + 5) = 0
имеет ровно два различных решения.
((x + 5)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 5)2 + y2 − a2)(x + y − a + 5) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(1; 2] ∪ [8; 9)
Решение
Общий множитель (x + 5)2 + y2 − a2 обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует x2 + y2 < 9 — ОТКРЫТЫЙ круг радиуса 3.
Окружность (x + 5)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−5; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 5, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 5 − 3 < |a| < 5 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 2 и |a| = 8 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 2 или |a| ≥ 8 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 5.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 5| < 4.
Ответ: (1; 2] ∪ [8; 9).
Окружность (x + 5)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−5; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 5, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 5 − 3 < |a| < 5 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 2 и |a| = 8 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 2 или |a| ≥ 8 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 5.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 5| < 4.
Ответ: (1; 2] ∪ [8; 9).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x + 7)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 7)2 + y2 − a2)(x + y − a + 7) = 0
имеет ровно два различных решения.
((x + 7)2 + y2 − a2)·ln(9 − x2 − y2) = 0((x + 7)2 + y2 − a2)(x + y − a + 7) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(3; 4] ∪ [10; 11)
Решение
Общий множитель (x + 7)2 + y2 − a2 обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует x2 + y2 < 9 — ОТКРЫТЫЙ круг радиуса 3.
Окружность (x + 7)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−7; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 7, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 7 − 3 < |a| < 7 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 4 и |a| = 10 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 4 или |a| ≥ 10 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 7.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 7| < 4.
Ответ: (3; 4] ∪ [10; 11).
Окружность (x + 7)2 + y2 − a2 = 0 имеет центр (−7; 0) и радиус |a|; расстояние между центрами равно 7, поэтому внутрь открытого круга она заходит ровно при 7 − 3 < |a| < 7 + 3 — и тогда решений бесконечно много (целая дуга). При |a| = 4 и |a| = 10 касание происходит НА границе круга, а она в ОДЗ не входит.
Значит при |a| ≤ 4 или |a| ≥ 10 решения — только пересечения ln(9 − x2 − y2) = 0, то есть x2 + y2 = 8, с прямой x + y = a − 7.
Их два ⟺ расстояние от начала координат до прямой меньше : |a − 7| < 4.
Ответ: (3; 4] ∪ [10; 11).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.