Ровно два: общий множитель + полуплоскость логарифма — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x2 + y2 + 4x)·ln3x + 4y + a20 = 0(x2 + y2 + 4x)(x2 + y2 − 16x) = 0
имеет ровно два различных решения.
(x2 + y2 + 4x)·ln3x + 4y + a20 = 0(x2 + y2 + 4x)(x2 + y2 − 16x) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−44; −4]
Решение
Множитель x2 + y2 + 4x = 0 — это окружность с центром (−2; 0) и радиусом 2; он обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует 3x + 4y + a > 0 — открытую полуплоскость.
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 16 до a + 4 (в центре значение a − 6, размах — 5·2). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −4.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 20 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 16x с центром (8; 0) и радиусом 8.
Двух общих точек требует |3·8 − (20 − a)| < 5·8, то есть -44 < a < 36.
Ответ: (−44; −4].
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 16 до a + 4 (в центре значение a − 6, размах — 5·2). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −4.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 20 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 16x с центром (8; 0) и радиусом 8.
Двух общих точек требует |3·8 − (20 − a)| < 5·8, то есть -44 < a < 36.
Ответ: (−44; −4].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x2 + y2 + 8x)·ln3x + 4y + a15 = 0(x2 + y2 + 8x)(x2 + y2 − 10x) = 0
имеет ровно два различных решения.
(x2 + y2 + 8x)·ln3x + 4y + a15 = 0(x2 + y2 + 8x)(x2 + y2 − 10x) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−25; −8]
Решение
Множитель x2 + y2 + 8x = 0 — это окружность с центром (−4; 0) и радиусом 4; он обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует 3x + 4y + a > 0 — открытую полуплоскость.
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 32 до a + 8 (в центре значение a − 12, размах — 5·4). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −8.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 15 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 10x с центром (5; 0) и радиусом 5.
Двух общих точек требует |3·5 − (15 − a)| < 5·5, то есть -25 < a < 25.
Ответ: (−25; −8].
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 32 до a + 8 (в центре значение a − 12, размах — 5·4). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −8.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 15 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 10x с центром (5; 0) и радиусом 5.
Двух общих точек требует |3·5 − (15 − a)| < 5·5, то есть -25 < a < 25.
Ответ: (−25; −8].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x2 + y2 + 6x)·ln3x + 4y + a25 = 0(x2 + y2 + 6x)(x2 + y2 − 10x) = 0
имеет ровно два различных решения.
(x2 + y2 + 6x)·ln3x + 4y + a25 = 0(x2 + y2 + 6x)(x2 + y2 − 10x) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−15; −6]
Решение
Множитель x2 + y2 + 6x = 0 — это окружность с центром (−3; 0) и радиусом 3; он обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует 3x + 4y + a > 0 — открытую полуплоскость.
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 24 до a + 6 (в центре значение a − 9, размах — 5·3). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −6.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 25 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 10x с центром (5; 0) и радиусом 5.
Двух общих точек требует |3·5 − (25 − a)| < 5·5, то есть -15 < a < 35.
Ответ: (−15; −6].
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 24 до a + 6 (в центре значение a − 9, размах — 5·3). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −6.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 25 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 10x с центром (5; 0) и радиусом 5.
Двух общих точек требует |3·5 − (25 − a)| < 5·5, то есть -15 < a < 35.
Ответ: (−15; −6].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x2 + y2 + 4x)·ln3x + 4y + a10 = 0(x2 + y2 + 4x)(x2 + y2 − 16x) = 0
имеет ровно два различных решения.
(x2 + y2 + 4x)·ln3x + 4y + a10 = 0(x2 + y2 + 4x)(x2 + y2 − 16x) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−54; −4]
Решение
Множитель x2 + y2 + 4x = 0 — это окружность с центром (−2; 0) и радиусом 2; он обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует 3x + 4y + a > 0 — открытую полуплоскость.
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 16 до a + 4 (в центре значение a − 6, размах — 5·2). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −4.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 10 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 16x с центром (8; 0) и радиусом 8.
Двух общих точек требует |3·8 − (10 − a)| < 5·8, то есть -54 < a < 26.
Ответ: (−54; −4].
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 16 до a + 4 (в центре значение a − 6, размах — 5·2). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −4.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 10 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 16x с центром (8; 0) и радиусом 8.
Двух общих точек требует |3·8 − (10 − a)| < 5·8, то есть -54 < a < 26.
Ответ: (−54; −4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x2 + y2 + 4x)·ln3x + 4y + a10 = 0(x2 + y2 + 4x)(x2 + y2 − 8x) = 0
имеет ровно два различных решения.
(x2 + y2 + 4x)·ln3x + 4y + a10 = 0(x2 + y2 + 4x)(x2 + y2 − 8x) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−22; −4]
Решение
Множитель x2 + y2 + 4x = 0 — это окружность с центром (−2; 0) и радиусом 2; он обращает в нуль обе строки сразу, но логарифм требует 3x + 4y + a > 0 — открытую полуплоскость.
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 16 до a + 4 (в центре значение a − 6, размах — 5·2). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −4.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 10 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 8x с центром (4; 0) и радиусом 4.
Двух общих точек требует |3·4 − (10 − a)| < 5·4, то есть -22 < a < 18.
Ответ: (−22; −4].
На этой окружности 3x + 4y + a изменяется от a − 16 до a + 4 (в центре значение a − 6, размах — 5·2). Значит дуга решений пуста ровно при a ≤ −4.
Тогда первая строка даёт ln(...) = 0, то есть прямую 3x + 4y = 10 − a, а вторая — окружность x2 + y2 = 8x с центром (4; 0) и радиусом 4.
Двух общих точек требует |3·4 − (10 − a)| < 5·4, то есть -22 < a < 18.
Ответ: (−22; −4].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.