Ровно два: {px²+py²=kxy; (x−a)²+(y−a)²=ρa⁴} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
5x2 + 5y2 = 26xy(x − a)2 + (y − a)2 = 26a4
имеет ровно два решения.
5x2 + 5y2 = 26xy(x − a)2 + (y − a)2 = 26a4
имеет ровно два решения.
Показать ответ
{−2/13} ∪ {2/13}
Решение
Первая строка: 5x2 − 26xy + 5y2 = 0 ⟺ (y − 5x)(5y − x) = 0, то есть y = 5x или 5y = x.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 5x даёт 26x2 − 12ax + 2a2 − 26a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(676a2 − 16), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 2/13 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 2/13 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−2/13} ∪ {2/13}.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 5x даёт 26x2 − 12ax + 2a2 − 26a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(676a2 − 16), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 2/13 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 2/13 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−2/13} ∪ {2/13}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x2 + 2y2 = 5xy(x − a)2 + (y − a)2 = 20a4
имеет ровно два решения.
2x2 + 2y2 = 5xy(x − a)2 + (y − a)2 = 20a4
имеет ровно два решения.
Показать ответ
{−1/10} ∪ {1/10}
Решение
Первая строка: 2x2 − 5xy + 2y2 = 0 ⟺ (y − 2x)(2y − x) = 0, то есть y = 2x или 2y = x.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 2x даёт 5x2 − 6ax + 2a2 − 20a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(100a2 − 1), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/10 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/10 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/10} ∪ {1/10}.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 2x даёт 5x2 − 6ax + 2a2 − 20a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(100a2 − 1), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/10 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/10 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/10} ∪ {1/10}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x2 + 2y2 = 5xy(x − a)2 + (y − a)2 = 5a4
имеет ровно два решения.
2x2 + 2y2 = 5xy(x − a)2 + (y − a)2 = 5a4
имеет ровно два решения.
Показать ответ
{−1/5} ∪ {1/5}
Решение
Первая строка: 2x2 − 5xy + 2y2 = 0 ⟺ (y − 2x)(2y − x) = 0, то есть y = 2x или 2y = x.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 2x даёт 5x2 − 6ax + 2a2 − 5a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(25a2 − 1), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/5 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/5 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/5} ∪ {1/5}.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 2x даёт 5x2 − 6ax + 2a2 − 5a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(25a2 − 1), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/5 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/5 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/5} ∪ {1/5}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x2 + 2y2 = 5xy(x − a)2 + (y − a)2 = 45a4
имеет ровно два решения.
2x2 + 2y2 = 5xy(x − a)2 + (y − a)2 = 45a4
имеет ровно два решения.
Показать ответ
{−1/15} ∪ {1/15}
Решение
Первая строка: 2x2 − 5xy + 2y2 = 0 ⟺ (y − 2x)(2y − x) = 0, то есть y = 2x или 2y = x.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 2x даёт 5x2 − 6ax + 2a2 − 45a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(225a2 − 1), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/15 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/15 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/15} ∪ {1/15}.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 2x даёт 5x2 − 6ax + 2a2 − 45a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(225a2 − 1), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/15 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/15 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/15} ∪ {1/15}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
3x2 + 3y2 = 10xy(x − a)2 + (y − a)2 = 10a4
имеет ровно два решения.
3x2 + 3y2 = 10xy(x − a)2 + (y − a)2 = 10a4
имеет ровно два решения.
Показать ответ
{−1/5} ∪ {1/5}
Решение
Первая строка: 3x2 − 10xy + 3y2 = 0 ⟺ (y − 3x)(3y − x) = 0, то есть y = 3x или 3y = x.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 3x даёт 10x2 − 8ax + 2a2 − 10a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(100a2 − 4), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/5 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/5 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/5} ∪ {1/5}.
Вторая — окружность с центром (a; a) и радиусом ·a2.
Подстановка y = 3x даёт 10x2 − 8ax + 2a2 − 10a4 = 0; четверть дискриминанта равна a2(100a2 − 4), и для второй прямой знак дискриминанта тот же.
При |a| > 1/5 каждая прямая даёт по две точки (всего четыре), при 0 < |a| < 1/5 — ни одной, при a = 0 окружность вырождается в точку (0; 0) (одно решение). Ровно две точки — когда обе прямые касательные.
Ответ: {−1/5} ∪ {1/5}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.