Ровно два решения: cos√(ax−kx²) + cos2√(ax−kx²) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Тригонометрия с параметром. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos + cos 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
cos + cos 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−4π; −4π/3) ∪ (4π/3; 4π)
Решение
Обозначим u = ≥ 0.
Так как cos 2u = 2cos2u − 1, уравнение принимает вид 2cos2u + cos u − 1 = 0, то есть (2cos u − 1)(cos u + 1) = 0 и cos u = 0,5 или cos u = −1.
При u ≥ 0 это u = π/3 + 2πn, u = 5π/3 + 2πn, u = π + 2πn (значение u = 0 не подходит).
Далее u2 = ax − 4x2, то есть 4x2 − ax + u2 = 0 с дискриминантом a2 − 16u2.
Каждое допустимое u даёт два корня x при |a| > 4u, один при равенстве и ни одного при |a| < 4u (разным u отвечают разные x).
Ровно два решения — когда «работает» только наименьшее допустимое u: 4π/3 < |a| < 4π.
Ответ: (−4π; −4π/3) ∪ (4π/3; 4π).
Так как cos 2u = 2cos2u − 1, уравнение принимает вид 2cos2u + cos u − 1 = 0, то есть (2cos u − 1)(cos u + 1) = 0 и cos u = 0,5 или cos u = −1.
При u ≥ 0 это u = π/3 + 2πn, u = 5π/3 + 2πn, u = π + 2πn (значение u = 0 не подходит).
Далее u2 = ax − 4x2, то есть 4x2 − ax + u2 = 0 с дискриминантом a2 − 16u2.
Каждое допустимое u даёт два корня x при |a| > 4u, один при равенстве и ни одного при |a| < 4u (разным u отвечают разные x).
Ровно два решения — когда «работает» только наименьшее допустимое u: 4π/3 < |a| < 4π.
Ответ: (−4π; −4π/3) ∪ (4π/3; 4π).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos + cos 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
cos + cos 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2π; −2π/3) ∪ (2π/3; 2π)
Решение
Обозначим u = ≥ 0.
Так как cos 2u = 2cos2u − 1, уравнение принимает вид 2cos2u + cos u − 1 = 0, то есть (2cos u − 1)(cos u + 1) = 0 и cos u = 0,5 или cos u = −1.
При u ≥ 0 это u = π/3 + 2πn, u = 5π/3 + 2πn, u = π + 2πn (значение u = 0 не подходит).
Далее u2 = ax − x2, то есть x2 − ax + u2 = 0 с дискриминантом a2 − 4u2.
Каждое допустимое u даёт два корня x при |a| > 2u, один при равенстве и ни одного при |a| < 2u (разным u отвечают разные x).
Ровно два решения — когда «работает» только наименьшее допустимое u: 2π/3 < |a| < 2π.
Ответ: (−2π; −2π/3) ∪ (2π/3; 2π).
Так как cos 2u = 2cos2u − 1, уравнение принимает вид 2cos2u + cos u − 1 = 0, то есть (2cos u − 1)(cos u + 1) = 0 и cos u = 0,5 или cos u = −1.
При u ≥ 0 это u = π/3 + 2πn, u = 5π/3 + 2πn, u = π + 2πn (значение u = 0 не подходит).
Далее u2 = ax − x2, то есть x2 − ax + u2 = 0 с дискриминантом a2 − 4u2.
Каждое допустимое u даёт два корня x при |a| > 2u, один при равенстве и ни одного при |a| < 2u (разным u отвечают разные x).
Ровно два решения — когда «работает» только наименьшее допустимое u: 2π/3 < |a| < 2π.
Ответ: (−2π; −2π/3) ∪ (2π/3; 2π).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
cos + cos 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
cos + cos 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−6π; −2π) ∪ (2π; 6π)
Решение
Обозначим u = ≥ 0.
Так как cos 2u = 2cos2u − 1, уравнение принимает вид 2cos2u + cos u − 1 = 0, то есть (2cos u − 1)(cos u + 1) = 0 и cos u = 0,5 или cos u = −1.
При u ≥ 0 это u = π/3 + 2πn, u = 5π/3 + 2πn, u = π + 2πn (значение u = 0 не подходит).
Далее u2 = ax − 9x2, то есть 9x2 − ax + u2 = 0 с дискриминантом a2 − 36u2.
Каждое допустимое u даёт два корня x при |a| > 6u, один при равенстве и ни одного при |a| < 6u (разным u отвечают разные x).
Ровно два решения — когда «работает» только наименьшее допустимое u: 2π < |a| < 6π.
Ответ: (−6π; −2π) ∪ (2π; 6π).
Так как cos 2u = 2cos2u − 1, уравнение принимает вид 2cos2u + cos u − 1 = 0, то есть (2cos u − 1)(cos u + 1) = 0 и cos u = 0,5 или cos u = −1.
При u ≥ 0 это u = π/3 + 2πn, u = 5π/3 + 2πn, u = π + 2πn (значение u = 0 не подходит).
Далее u2 = ax − 9x2, то есть 9x2 − ax + u2 = 0 с дискриминантом a2 − 36u2.
Каждое допустимое u даёт два корня x при |a| > 6u, один при равенстве и ни одного при |a| < 6u (разным u отвечают разные x).
Ровно два решения — когда «работает» только наименьшее допустимое u: 2π < |a| < 6π.
Ответ: (−6π; −2π) ∪ (2π; 6π).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.