Ровно два решения: две окружности равного радиуса — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 6x + 4yx2 + y2 = 2(3 + 6a)x + 2(2 − 9a)y − 117a2
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = 6x + 4yx2 + y2 = 2(3 + 6a)x + 2(2 − 9a)y − 117a2
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2/3; 0) ∪ (0; 2/3)
Решение
Первая строка: (x − 3)2 + (y − 2)2 = 13 — окружность с центром (3; 2) и радиусом .
Вторая: (x − (3 + 6a))2 + (y − (2 − 9a))2 = 13 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 117a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 117a2 < 52 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−2/3; 0) ∪ (0; 2/3).
Вторая: (x − (3 + 6a))2 + (y − (2 − 9a))2 = 13 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 117a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 117a2 < 52 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−2/3; 0) ∪ (0; 2/3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 6x + 2yx2 + y2 = 2(3 − a)x + 2(1 + 3a)y − 10a2
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = 6x + 2yx2 + y2 = 2(3 − a)x + 2(1 + 3a)y − 10a2
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 2)
Решение
Первая строка: (x − 3)2 + (y − 1)2 = 10 — окружность с центром (3; 1) и радиусом .
Вторая: (x − (3 − a))2 + (y − (1 + 3a))2 = 10 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 10a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 10a2 < 40 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 2).
Вторая: (x − (3 − a))2 + (y − (1 + 3a))2 = 10 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 10a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 10a2 < 40 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 2).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 6x + 2yx2 + y2 = 2(3 − 2a)x + 2(1 + 6a)y − 40a2
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = 6x + 2yx2 + y2 = 2(3 − 2a)x + 2(1 + 6a)y − 40a2
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−1; 0) ∪ (0; 1)
Решение
Первая строка: (x − 3)2 + (y − 1)2 = 10 — окружность с центром (3; 1) и радиусом .
Вторая: (x − (3 − 2a))2 + (y − (1 + 6a))2 = 10 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 40a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 40a2 < 40 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 1).
Вторая: (x − (3 − 2a))2 + (y − (1 + 6a))2 = 10 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 40a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 40a2 < 40 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 1).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 2x + 2yx2 + y2 = 2(1 − 3a)x + 2(1 + 3a)y − 18a2
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = 2x + 2yx2 + y2 = 2(1 − 3a)x + 2(1 + 3a)y − 18a2
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2/3; 0) ∪ (0; 2/3)
Решение
Первая строка: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2 — окружность с центром (1; 1) и радиусом .
Вторая: (x − (1 − 3a))2 + (y − (1 + 3a))2 = 2 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 18a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 18a2 < 8 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−2/3; 0) ∪ (0; 2/3).
Вторая: (x − (1 − 3a))2 + (y − (1 + 3a))2 = 2 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 18a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 18a2 < 8 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−2/3; 0) ∪ (0; 2/3).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = 4x + 6yx2 + y2 = 2(2 − 6a)x + 2(3 + 4a)y − 52a2
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = 4x + 6yx2 + y2 = 2(2 − 6a)x + 2(3 + 4a)y − 52a2
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−1; 0) ∪ (0; 1)
Решение
Первая строка: (x − 2)2 + (y − 3)2 = 13 — окружность с центром (2; 3) и радиусом .
Вторая: (x − (2 − 6a))2 + (y − (3 + 4a))2 = 13 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 52a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 52a2 < 52 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 1).
Вторая: (x − (2 − 6a))2 + (y − (3 + 4a))2 = 13 — радиус тот же, а центр с ростом a бежит по прямой.
Квадрат расстояния между центрами d2 = 52a2. У двух окружностей равного радиуса ровно две общие точки ⟺ 0 < d < 2, то есть 0 < 52a2 < 52 (при a = 0 окружности совпадают, и решений бесконечно много).
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.