Ровно два решения: {log(a−x²)=log(a−y²); окружность} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы с логарифмом или корнем и кривой. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log5(a − x2) = log5(a − y2)x2 + y2 = 6x + 8y
имеет ровно два различных решения.
log5(a − x2) = log5(a − y2)x2 + y2 = 6x + 8y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(1; 49]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = x2 при a > x2 (аргументы должны быть положительны).
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 14x, то есть x = 0 или x = 7; при y = −x — x = 0 или x = −1.
Итого три точки: (0; 0), (7; 7) и (−1; 1); они годятся при a > 0, a > 49, a > 1 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (1; 49].
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 14x, то есть x = 0 или x = 7; при y = −x — x = 0 или x = −1.
Итого три точки: (0; 0), (7; 7) и (−1; 1); они годятся при a > 0, a > 49, a > 1 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (1; 49].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log4(a − x2) = log4(a − y2)x2 + y2 = 2x + 10y
имеет ровно два различных решения.
log4(a − x2) = log4(a − y2)x2 + y2 = 2x + 10y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(16; 36]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = x2 при a > x2 (аргументы должны быть положительны).
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 12x, то есть x = 0 или x = 6; при y = −x — x = 0 или x = −4.
Итого три точки: (0; 0), (6; 6) и (−4; 4); они годятся при a > 0, a > 36, a > 16 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (16; 36].
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 12x, то есть x = 0 или x = 6; при y = −x — x = 0 или x = −4.
Итого три точки: (0; 0), (6; 6) и (−4; 4); они годятся при a > 0, a > 36, a > 16 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (16; 36].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log5(a − x2) = log5(a − y2)x2 + y2 = 6x + 4y
имеет ровно два различных решения.
log5(a − x2) = log5(a − y2)x2 + y2 = 6x + 4y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(1; 25]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = x2 при a > x2 (аргументы должны быть положительны).
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 10x, то есть x = 0 или x = 5; при y = −x — x = 0 или x = 1.
Итого три точки: (0; 0), (5; 5) и (1; −1); они годятся при a > 0, a > 25, a > 1 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (1; 25].
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 10x, то есть x = 0 или x = 5; при y = −x — x = 0 или x = 1.
Итого три точки: (0; 0), (5; 5) и (1; −1); они годятся при a > 0, a > 25, a > 1 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (1; 25].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log5(a − x2) = log5(a − y2)x2 + y2 = 2x + 10y
имеет ровно два различных решения.
log5(a − x2) = log5(a − y2)x2 + y2 = 2x + 10y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(16; 36]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = x2 при a > x2 (аргументы должны быть положительны).
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 12x, то есть x = 0 или x = 6; при y = −x — x = 0 или x = −4.
Итого три точки: (0; 0), (6; 6) и (−4; 4); они годятся при a > 0, a > 36, a > 16 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (16; 36].
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 12x, то есть x = 0 или x = 6; при y = −x — x = 0 или x = −4.
Итого три точки: (0; 0), (6; 6) и (−4; 4); они годятся при a > 0, a > 36, a > 16 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (16; 36].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
log4(a − x2) = log4(a − y2)x2 + y2 = 8x + 6y
имеет ровно два различных решения.
log4(a − x2) = log4(a − y2)x2 + y2 = 8x + 6y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(1; 49]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = x2 при a > x2 (аргументы должны быть положительны).
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 14x, то есть x = 0 или x = 7; при y = −x — x = 0 или x = 1.
Итого три точки: (0; 0), (7; 7) и (1; −1); они годятся при a > 0, a > 49, a > 1 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (1; 49].
Подставляя y = x в окружность, получаем 2x2 = 14x, то есть x = 0 или x = 7; при y = −x — x = 0 или x = 1.
Итого три точки: (0; 0), (7; 7) и (1; −1); они годятся при a > 0, a > 49, a > 1 соответственно.
Ровно два решения — когда выполняются ровно два из этих условий.
Ответ: (1; 49].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.