Ровно два решения: (log₂(x+a)−log₂(x−a))² − S·(…) + P = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Логарифмические с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a − 1)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 − a − 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a − 1)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 − a − 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1/2) ∪ (2/3; 3) ∪ (3; +∞)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и x − a > 0, то есть x > |a|. Обозначим t = log2(x + a) − log2(x − a) = log2x + ax − a.
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −2 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a + 1 или t = 3a − 2.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (2/3; 3) ∪ (3; +∞).
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −2 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a + 1 или t = 3a − 2.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (2/3; 3) ∪ (3; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 + 2a − 4 = 0
имеет ровно два различных решения.
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 + 2a − 4 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1) ∪ (2/3; 4) ∪ (4; +∞)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и x − a > 0, то есть x > |a|. Обозначим t = log2(x + a) − log2(x − a) = log2x + ax − a.
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −4 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a + 2 или t = 3a − 2.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1) ∪ (2/3; 4) ∪ (4; +∞).
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −4 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a + 2 или t = 3a − 2.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1) ∪ (2/3; 4) ∪ (4; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (4a − 1)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 4a2 − 2a − 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (4a − 1)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 4a2 − 2a − 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1/2) ∪ (1; +∞)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и x − a > 0, то есть x > |a|. Обозначим t = log2(x + a) − log2(x − a) = log2x + ax − a.
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −2 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a + 1 или t = 2a − 2.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (1; +∞).
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −2 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a + 1 или t = 2a − 2.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (1; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 + a − 1 = 0
имеет ровно два различных решения.
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 + a − 1 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1/2) ∪ (1/3; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и x − a > 0, то есть x > |a|. Обозначим t = log2(x + a) − log2(x − a) = log2x + ax − a.
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −1 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 3a − 1 или t = 2a + 1.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (1/3; 2) ∪ (2; +∞).
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −1 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 3a − 1 или t = 2a + 1.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (1/3; 2) ∪ (2; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a − 1)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 − 4a − 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
(log2(x + a) − log2(x − a))2 − (5a − 1)(log2(x + a) − log2(x − a)) + 6a2 − 4a − 2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −3) ∪ (−3; −1/3) ∪ (1; +∞)
Решение
ОДЗ: x + a > 0 и x − a > 0, то есть x > |a|. Обозначим t = log2(x + a) − log2(x − a) = log2x + ax − a.
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −2 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a − 2 или t = 3a + 1.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −3) ∪ (−3; −1/3) ∪ (1; +∞).
При a > 0 дробь (x + a)/(x − a) убывает от +∞ до 1, поэтому t пробегает всю полупрямую (0; +∞), причём каждому t отвечает ровно один x. При a < 0 та же дробь растёт от 0 до 1, и t пробегает (−∞; 0). При a = 0 всегда t = 0, а свободный член −2 ≠ 0 — решений нет.
Квадратное уравнение по t раскладывается: t = 2a − 2 или t = 3a + 1.
Значит решений ровно два ⟺ эти значения различны и оба лежат в нужной полупрямой (положительны при a > 0, отрицательны при a < 0).
Ответ: (−∞; −3) ∪ (−3; −1/3) ∪ (1; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.