Ровно два решения: (|x−h|−|x−a|)² − ka(…) + Q(a) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x − 5| − |x − a|)2 − 7a(|x − 5| − |x − a|) + 6a2 + 10a − 4 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x − 5| − |x − a|)2 − 7a(|x − 5| − |x − a|) + 6a2 + 10a − 4 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−3/5; 4/5) ∪ (4/5; 1)
Решение
Обозначим v = |x − 5| − |x − a|. Уравнение квадратное по v, и его дискриминант равен 49a2 − 4(6a2 + 10a − 4) = (5a − 4)2 — полный квадрат.
Поэтому v = 12a − 42 или v = 2a + 42.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 5 и a (там она равна 5 − a или a − 5) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |5 − a| и бесконечно много корней при |w| = |5 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |5 − a|.
Ответ: (−3/5; 4/5) ∪ (4/5; 1).
Поэтому v = 12a − 42 или v = 2a + 42.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 5 и a (там она равна 5 − a или a − 5) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |5 − a| и бесконечно много корней при |w| = |5 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |5 − a|.
Ответ: (−3/5; 4/5) ∪ (4/5; 1).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x − 11| − |x − a|)2 − 8a(|x − 11| − |x − a|) + 12a2 + 4a − 1 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x − 11| − |x − a|)2 − 8a(|x − 11| − |x − a|) + 12a2 + 4a − 1 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2; 1/2) ∪ (1/2; 12/7)
Решение
Обозначим v = |x − 11| − |x − a|. Уравнение квадратное по v, и его дискриминант равен 64a2 − 4(12a2 + 4a − 1) = (4a − 2)2 — полный квадрат.
Поэтому v = 12a − 22 или v = 4a + 22.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 11 и a (там она равна 11 − a или a − 11) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |11 − a| и бесконечно много корней при |w| = |11 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |11 − a|.
Ответ: (−2; 1/2) ∪ (1/2; 12/7).
Поэтому v = 12a − 22 или v = 4a + 22.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 11 и a (там она равна 11 − a или a − 11) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |11 − a| и бесконечно много корней при |w| = |11 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |11 − a|.
Ответ: (−2; 1/2) ∪ (1/2; 12/7).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x − 7| − |x − a|)2 − 9a(|x − 7| − |x − a|) + 8a2 + 28a − 16 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x − 7| − |x − a|)2 − 9a(|x − 7| − |x − a|) + 8a2 + 28a − 16 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−3/7; 8/7) ∪ (8/7; 11/9)
Решение
Обозначим v = |x − 7| − |x − a|. Уравнение квадратное по v, и его дискриминант равен 81a2 − 4(8a2 + 28a − 16) = (7a − 8)2 — полный квадрат.
Поэтому v = 16a − 82 или v = 2a + 82.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 7 и a (там она равна 7 − a или a − 7) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |7 − a| и бесконечно много корней при |w| = |7 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |7 − a|.
Ответ: (−3/7; 8/7) ∪ (8/7; 11/9).
Поэтому v = 16a − 82 или v = 2a + 82.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 7 и a (там она равна 7 − a или a − 7) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |7 − a| и бесконечно много корней при |w| = |7 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |7 − a|.
Ответ: (−3/7; 8/7) ∪ (8/7; 11/9).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x − 9| − |x − a|)2 − 7a(|x − 9| − |x − a|) + 6a2 + 10a − 4 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x − 9| − |x − a|)2 − 7a(|x − 9| − |x − a|) + 6a2 + 10a − 4 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−7/5; 4/5) ∪ (4/5; 11/7)
Решение
Обозначим v = |x − 9| − |x − a|. Уравнение квадратное по v, и его дискриминант равен 49a2 − 4(6a2 + 10a − 4) = (5a − 4)2 — полный квадрат.
Поэтому v = 12a − 42 или v = 2a + 42.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 9 и a (там она равна 9 − a или a − 9) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |9 − a| и бесконечно много корней при |w| = |9 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |9 − a|.
Ответ: (−7/5; 4/5) ∪ (4/5; 11/7).
Поэтому v = 12a − 42 или v = 2a + 42.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 9 и a (там она равна 9 − a или a − 9) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |9 − a| и бесконечно много корней при |w| = |9 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |9 − a|.
Ответ: (−7/5; 4/5) ∪ (4/5; 11/7).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x − 9| − |x − a|)2 − 9a(|x − 9| − |x − a|) + 8a2 + 28a − 16 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x − 9| − |x − a|)2 − 9a(|x − 9| − |x − a|) + 8a2 + 28a − 16 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−5/7; 8/7) ∪ (8/7; 13/9)
Решение
Обозначим v = |x − 9| − |x − a|. Уравнение квадратное по v, и его дискриминант равен 81a2 − 4(8a2 + 28a − 16) = (7a − 8)2 — полный квадрат.
Поэтому v = 16a − 82 или v = 2a + 82.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 9 и a (там она равна 9 − a или a − 9) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |9 − a| и бесконечно много корней при |w| = |9 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |9 − a|.
Ответ: (−5/7; 8/7) ∪ (8/7; 13/9).
Поэтому v = 16a − 82 или v = 2a + 82.
Функция v(x) постоянна вне отрезка между 9 и a (там она равна 9 − a или a − 9) и линейна внутри него. Значит уравнение v = w имеет ровно один корень при |w| < |9 − a| и бесконечно много корней при |w| = |9 − a| ≠ 0.
Ровно два решения — когда ОБА значения v различны и по модулю строго меньше |9 − a|.
Ответ: (−5/7; 8/7) ∪ (8/7; 13/9).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.