Ровно два решения: {x²+px+y²+qy+r = |αx+βy+γ|; пучок через точку стыка} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 8x + y2 − 10y + 16 = 8|x + y − 2|y − 1 = a(x − 1)
имеет ровно два различных решения.
x2 − 8x + y2 − 10y + 16 = 8|x + y − 2|y − 1 = a(x − 1)
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −7/8]
Решение
Раскроем модуль. При x + y − 2 ≥ 0 получаем окружность (x − 8)2 + (y − 9)2 = 113, при противоположном знаке — x2 + (y − 1)2 = 1.
Прямая x + y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (1; 1) и (0; 2), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y − 1 = a(x − 1) проходит через точку стыка (1; 1), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; −7/8].
Прямая x + y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (1; 1) и (0; 2), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y − 1 = a(x − 1) проходит через точку стыка (1; 1), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; −7/8].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 2x + y2 − 13y = 5|y|y = a(x − 2)
имеет ровно два различных решения.
x2 − 2x + y2 − 13y = 5|y|y = a(x − 2)
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 1/9] ∪ [1/4; +∞)
Решение
Раскроем модуль. При y ≥ 0 получаем окружность (x − 1)2 + (y − 9)2 = 82, при противоположном знаке — (x − 1)2 + (y − 4)2 = 17.
Прямая y = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (2; 0) и (0; 0), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = a(x − 2) проходит через точку стыка (2; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; 1/9] ∪ [1/4; +∞).
Прямая y = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (2; 0) и (0; 0), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = a(x − 2) проходит через точку стыка (2; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; 1/9] ∪ [1/4; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 15x + y2 − 13y + 26 = 3|x + y − 2|y = a(x − 2)
имеет ровно два различных решения.
x2 − 15x + y2 − 13y + 26 = 3|x + y − 2|y = a(x − 2)
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −7/8] ∪ [−4/5; +∞)
Решение
Раскроем модуль. При x + y − 2 ≥ 0 получаем окружность (x − 9)2 + (y − 8)2 = 113, при противоположном знаке — (x − 6)2 + (y − 5)2 = 41.
Прямая x + y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (2; 0) и (1; 1), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = a(x − 2) проходит через точку стыка (2; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; −7/8] ∪ [−4/5; +∞).
Прямая x + y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (2; 0) и (1; 1), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = a(x − 2) проходит через точку стыка (2; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; −7/8] ∪ [−4/5; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + x + y2 − 2y = 17|x|y = ax
имеет ровно два различных решения.
x2 + x + y2 − 2y = 17|x|y = ax
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −8] ∪ [9; +∞)
Решение
Раскроем модуль. При x ≥ 0 получаем окружность (x − 8)2 + (y − 1)2 = 65, при противоположном знаке — (x + 9)2 + (y − 1)2 = 82.
Прямая x = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (0; 0) и (0; 2), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = ax проходит через точку стыка (0; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; −8] ∪ [9; +∞).
Прямая x = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (0; 0) и (0; 2), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = ax проходит через точку стыка (0; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; −8] ∪ [9; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 9x + y2 + 3y + 14 = |x − y − 2|y = a(x − 2)
имеет ровно два различных решения.
x2 − 9x + y2 + 3y + 14 = |x − y − 2|y = a(x − 2)
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 3/2] ∪ [2; +∞)
Решение
Раскроем модуль. При x − y − 2 ≥ 0 получаем окружность (x − 5)2 + (y + 2)2 = 13, при противоположном знаке — (x − 4)2 + (y + 1)2 = 5.
Прямая x − y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (2; 0) и (3; 1), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = a(x − 2) проходит через точку стыка (2; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; 3/2] ∪ [2; +∞).
Прямая x − y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через ОБЕ их общие точки (2; 0) и (3; 1), и кривая склеивается из двух дуг с этими концами.
Пучок y = a(x − 2) проходит через точку стыка (2; 0), значит одно решение есть всегда. Число остальных меняется только когда прямая касается одной из окружностей в этой самой точке (то есть идёт перпендикулярно радиусу) или когда она проходит через вторую точку стыка.
Ответ: (−∞; 3/2] ∪ [2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.