Ровно два решения: x⁴sin α + Px²cos α + Q sin α = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение
x4sin α + 8x2cos α + 16sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
x4sin α + 8x2cos α + 16sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
3π/4 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Обозначим t = x2 ≥ 0; тогда t2sin α + 8t·cos α + 16sin α = 0.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 8t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 8·ctg α·t + 16 = 0. Произведение корней равно 16 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 64ctg2α = 64 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 8t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 8·ctg α·t + 16 = 0. Произведение корней равно 16 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 64ctg2α = 64 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 2
Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение
x4sin α + 10x2cos α + 25sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
x4sin α + 10x2cos α + 25sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
3π/4 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Обозначим t = x2 ≥ 0; тогда t2sin α + 10t·cos α + 25sin α = 0.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 10t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 10·ctg α·t + 25 = 0. Произведение корней равно 25 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 100ctg2α = 100 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 10t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 10·ctg α·t + 25 = 0. Произведение корней равно 25 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 100ctg2α = 100 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 3
Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение
x4sin α + 6x2cos α + 9sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
x4sin α + 6x2cos α + 9sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
3π/4 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Обозначим t = x2 ≥ 0; тогда t2sin α + 6t·cos α + 9sin α = 0.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 6t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 6·ctg α·t + 9 = 0. Произведение корней равно 9 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 36ctg2α = 36 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 6t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 6·ctg α·t + 9 = 0. Произведение корней равно 9 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 36ctg2α = 36 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 4
Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение
x4sin α + 4x2cos α + 4sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
x4sin α + 4x2cos α + 4sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
3π/4 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Обозначим t = x2 ≥ 0; тогда t2sin α + 4t·cos α + 4sin α = 0.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 4t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 4·ctg α·t + 4 = 0. Произведение корней равно 4 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 16ctg2α = 16 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 4t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 4·ctg α·t + 4 = 0. Произведение корней равно 4 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 16ctg2α = 16 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 3π4 + πn.
Ответ: 3π/4 + πn, n ∈ ℤ.
Пример 5
Найдите все значения α, при каждом из которых уравнение
x4sin α + 6x2cos α + 3sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
x4sin α + 6x2cos α + 3sin α = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
2π/3 + πn, n ∈ ℤ
Решение
Обозначим t = x2 ≥ 0; тогда t2sin α + 6t·cos α + 3sin α = 0.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 6t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 6·ctg α·t + 3 = 0. Произведение корней равно 3 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 36ctg2α = 12 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 2π3 + πn.
Ответ: 2π/3 + πn, n ∈ ℤ.
Если sin α = 0, то cos α = ±1, остаётся 6t·cos α = 0, то есть t = 0 — ровно один корень x = 0, не подходит.
Пусть sin α ≠ 0. Разделив на sin α, получаем t2 + 6·ctg α·t + 3 = 0. Произведение корней равно 3 > 0, значит они одного знака, а положительны ⟺ ctg α < 0.
Каждому корню t > 0 отвечают ДВА значения x = ±√t, поэтому ровно два решения получаются только при слиянии корней: 36ctg2α = 12 при ctg α < 0.
Отсюда ctg α = −1, то есть α = 2π3 + πn.
Ответ: 2π/3 + πn, n ∈ ℤ.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.