Ровно два решения: {x²+y²=a²; xy=a²−ka} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = a2xy = a2 − 12a
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = a2xy = a2 − 12a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{8} ∪ {24}
Решение
Обозначим s = x + y и p = xy = a2 − 12a. Тогда s2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + 2(a2 − 12a) = 3a2 − 24a.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 24a − a2.
Если 3a2 − 24a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 24a, то есть a = 8 (дискриминант ещё положителен), и 24a = a2, то есть a = 24.
Ответ: {8} ∪ {24}.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 24a − a2.
Если 3a2 − 24a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 24a, то есть a = 8 (дискриминант ещё положителен), и 24a = a2, то есть a = 24.
Ответ: {8} ∪ {24}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = a2xy = a2 − 9a
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = a2xy = a2 − 9a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{6} ∪ {18}
Решение
Обозначим s = x + y и p = xy = a2 − 9a. Тогда s2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + 2(a2 − 9a) = 3a2 − 18a.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 18a − a2.
Если 3a2 − 18a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 18a, то есть a = 6 (дискриминант ещё положителен), и 18a = a2, то есть a = 18.
Ответ: {6} ∪ {18}.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 18a − a2.
Если 3a2 − 18a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 18a, то есть a = 6 (дискриминант ещё положителен), и 18a = a2, то есть a = 18.
Ответ: {6} ∪ {18}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = a2xy = a2 − 5a
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = a2xy = a2 − 5a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{10/3} ∪ {10}
Решение
Обозначим s = x + y и p = xy = a2 − 5a. Тогда s2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + 2(a2 − 5a) = 3a2 − 10a.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 10a − a2.
Если 3a2 − 10a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 10a, то есть a = 10/3 (дискриминант ещё положителен), и 10a = a2, то есть a = 10.
Ответ: {10/3} ∪ {10}.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 10a − a2.
Если 3a2 − 10a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 10a, то есть a = 10/3 (дискриминант ещё положителен), и 10a = a2, то есть a = 10.
Ответ: {10/3} ∪ {10}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = a2xy = a2 − a
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = a2xy = a2 − a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{2/3} ∪ {2}
Решение
Обозначим s = x + y и p = xy = a2 − a. Тогда s2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + 2(a2 − a) = 3a2 − 2a.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 2a − a2.
Если 3a2 − 2a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 2a, то есть a = 2/3 (дискриминант ещё положителен), и 2a = a2, то есть a = 2.
Ответ: {2/3} ∪ {2}.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 2a − a2.
Если 3a2 − 2a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 2a, то есть a = 2/3 (дискриминант ещё положителен), и 2a = a2, то есть a = 2.
Ответ: {2/3} ∪ {2}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 = a2xy = a2 − 6a
имеет ровно два различных решения.
x2 + y2 = a2xy = a2 − 6a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{4} ∪ {12}
Решение
Обозначим s = x + y и p = xy = a2 − 6a. Тогда s2 = x2 + y2 + 2xy = a2 + 2(a2 − 6a) = 3a2 − 12a.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 12a − a2.
Если 3a2 − 12a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 12a, то есть a = 4 (дискриминант ещё положителен), и 12a = a2, то есть a = 12.
Ответ: {4} ∪ {12}.
Сами x и y — корни уравнения t2 − st + p = 0 с дискриминантом s2 − 4p = 12a − a2.
Если 3a2 − 12a > 0, значений s два, при равенстве нулю — одно (s = 0), при отрицательном решений нет. Каждое s даёт две пары (x; y) при положительном дискриминанте и одну при нулевом.
Значит ровно две пары получаются в двух случаях: 3a2 = 12a, то есть a = 4 (дискриминант ещё положителен), и 12a = a2, то есть a = 12.
Ответ: {4} ∪ {12}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.