Ровно два: (|x+p|+|x−a|)² − 2q(…) + q²−(ka−m)² = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x + 3| + |x − a|)2 − 4(|x + 3| + |x − a|) − 4a2 + 12a − 5 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x + 3| + |x − a|)2 − 4(|x + 3| + |x − a|) − 4a2 + 12a − 5 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 2/3) ∪ (4; +∞)
Решение
Обозначим u = |x + 3| + |x − a| ≥ 0. Уравнение принимает вид u2 − 4u + 4 − (2a − 3)2 = 0, то есть (u − 2)2 = (2a − 3)2.
Значит u = 2 + |2a − 3| или u = 2 − |2a − 3|.
Сумма расстояний от x до точек −3 и a равна |a + 3| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 3|, имеет бесконечно много при v = |a + 3| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 3|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 2/3) ∪ (4; +∞).
Значит u = 2 + |2a − 3| или u = 2 − |2a − 3|.
Сумма расстояний от x до точек −3 и a равна |a + 3| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 3|, имеет бесконечно много при v = |a + 3| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 3|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 2/3) ∪ (4; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x + 2| + |x − a|)2 − 2(|x + 2| + |x − a|) − 4a2 + 8a − 3 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x + 2| + |x − a|)2 − 2(|x + 2| + |x − a|) − 4a2 + 8a − 3 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 1/3) ∪ (3; +∞)
Решение
Обозначим u = |x + 2| + |x − a| ≥ 0. Уравнение принимает вид u2 − 2u + 1 − (2a − 2)2 = 0, то есть (u − 1)2 = (2a − 2)2.
Значит u = 1 + |2a − 2| или u = 1 − |2a − 2|.
Сумма расстояний от x до точек −2 и a равна |a + 2| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 2|, имеет бесконечно много при v = |a + 2| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 2|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 1/3) ∪ (3; +∞).
Значит u = 1 + |2a − 2| или u = 1 − |2a − 2|.
Сумма расстояний от x до точек −2 и a равна |a + 2| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 2|, имеет бесконечно много при v = |a + 2| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 2|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 1/3) ∪ (3; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x + 1| + |x − a|)2 − 6(|x + 1| + |x − a|) − 9a2 + 6a + 8 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x + 1| + |x − a|)2 − 6(|x + 1| + |x − a|) − 9a2 + 6a + 8 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1/2) ∪ {1/3} ∪ (3/4; +∞)
Решение
Обозначим u = |x + 1| + |x − a| ≥ 0. Уравнение принимает вид u2 − 6u + 9 − (3a − 1)2 = 0, то есть (u − 3)2 = (3a − 1)2.
Значит u = 3 + |3a − 1| или u = 3 − |3a − 1|.
Сумма расстояний от x до точек −1 и a равна |a + 1| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 1|, имеет бесконечно много при v = |a + 1| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 1|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ {1/3} ∪ (3/4; +∞).
Значит u = 3 + |3a − 1| или u = 3 − |3a − 1|.
Сумма расстояний от x до точек −1 и a равна |a + 1| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 1|, имеет бесконечно много при v = |a + 1| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 1|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ {1/3} ∪ (3/4; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x + 1| + |x − a|)2 − 6(|x + 1| + |x − a|) − 4a2 + 8a + 5 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x + 1| + |x − a|)2 − 6(|x + 1| + |x − a|) − 4a2 + 8a + 5 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ {1} ∪ (4/3; +∞)
Решение
Обозначим u = |x + 1| + |x − a| ≥ 0. Уравнение принимает вид u2 − 6u + 9 − (2a − 2)2 = 0, то есть (u − 3)2 = (2a − 2)2.
Значит u = 3 + |2a − 2| или u = 3 − |2a − 2|.
Сумма расстояний от x до точек −1 и a равна |a + 1| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 1|, имеет бесконечно много при v = |a + 1| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 1|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1} ∪ (4/3; +∞).
Значит u = 3 + |2a − 2| или u = 3 − |2a − 2|.
Сумма расстояний от x до точек −1 и a равна |a + 1| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 1|, имеет бесконечно много при v = |a + 1| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 1|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 0) ∪ {1} ∪ (4/3; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(|x + 2| + |x − a|)2 − 2(|x + 2| + |x − a|) − 9a2 + 12a − 3 = 0
имеет ровно два различных решения.
(|x + 2| + |x − a|)2 − 2(|x + 2| + |x − a|) − 9a2 + 12a − 3 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 1/4) ∪ (3/2; +∞)
Решение
Обозначим u = |x + 2| + |x − a| ≥ 0. Уравнение принимает вид u2 − 2u + 1 − (3a − 2)2 = 0, то есть (u − 1)2 = (3a − 2)2.
Значит u = 1 + |3a − 2| или u = 1 − |3a − 2|.
Сумма расстояний от x до точек −2 и a равна |a + 2| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 2|, имеет бесконечно много при v = |a + 2| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 2|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 1/4) ∪ (3/2; +∞).
Значит u = 1 + |3a − 2| или u = 1 − |3a − 2|.
Сумма расстояний от x до точек −2 и a равна |a + 2| на всём отрезке между ними и растёт вне него. Поэтому уравнение u = v не имеет решений при v < |a + 2|, имеет бесконечно много при v = |a + 2| ≠ 0 (весь отрезок) и ровно два при v > |a + 2|.
Ровно два решения — когда одно из значений v даёт два корня, а другое не даёт ни одного.
Ответ: (−∞; 1/4) ∪ (3/2; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.