Ровно два: {(|y|−x−c)(окружность)/(x+c)=0; y=√(a−f)·x} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(|y| − x − 2)(x2 − 10x + y2 + 6)x + 2 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
(|y| − x − 2)(x2 − 10x + y2 + 6)x + 2 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{3} ∪ (37/6; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x ≠ −2.
Первый множитель: |y| = x + 2 — «галочка» с вершиной (−2; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 19 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 3), и все условия зависят лишь от k2 = a − 3.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 6 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − 6(1 + k2), поэтому две точки при k2 < 19/6 и ни одной при k2 > 19/6.
Ответ: {3} ∪ (37/6; +∞).
Первый множитель: |y| = x + 2 — «галочка» с вершиной (−2; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 19 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 3), и все условия зависят лишь от k2 = a − 3.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 6 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − 6(1 + k2), поэтому две точки при k2 < 19/6 и ни одной при k2 > 19/6.
Ответ: {3} ∪ (37/6; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(|y| − x − 1)(x2 − 10x + y2 + 1)x + 1 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
(|y| − x − 1)(x2 − 10x + y2 + 1)x + 1 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{3} ∪ (27; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x ≠ −1.
Первый множитель: |y| = x + 1 — «галочка» с вершиной (−1; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 24 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 3), и все условия зависят лишь от k2 = a − 3.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 1 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − (1 + k2), поэтому две точки при k2 < 24 и ни одной при k2 > 24.
Ответ: {3} ∪ (27; +∞).
Первый множитель: |y| = x + 1 — «галочка» с вершиной (−1; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 24 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 3), и все условия зависят лишь от k2 = a − 3.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 1 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − (1 + k2), поэтому две точки при k2 < 24 и ни одной при k2 > 24.
Ответ: {3} ∪ (27; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(|y| − x − 2)(x2 − 10x + y2 + 6)x + 2 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
(|y| − x − 2)(x2 − 10x + y2 + 6)x + 2 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{2} ∪ (31/6; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x ≠ −2.
Первый множитель: |y| = x + 2 — «галочка» с вершиной (−2; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 19 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 2), и все условия зависят лишь от k2 = a − 2.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 6 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − 6(1 + k2), поэтому две точки при k2 < 19/6 и ни одной при k2 > 19/6.
Ответ: {2} ∪ (31/6; +∞).
Первый множитель: |y| = x + 2 — «галочка» с вершиной (−2; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 19 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 2), и все условия зависят лишь от k2 = a − 2.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 6 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − 6(1 + k2), поэтому две точки при k2 < 19/6 и ни одной при k2 > 19/6.
Ответ: {2} ∪ (31/6; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(|y| − x − 1)(x2 − 6x + y2 + 1)x + 1 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
(|y| − x − 1)(x2 − 6x + y2 + 1)x + 1 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{2} ∪ (10; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x ≠ −1.
Первый множитель: |y| = x + 1 — «галочка» с вершиной (−1; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 3)2 + y2 = 8 — окружность с центром (3; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 2), и все условия зависят лишь от k2 = a − 2.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 6x + 1 = 0, четверть дискриминанта равна 9 − (1 + k2), поэтому две точки при k2 < 8 и ни одной при k2 > 8.
Ответ: {2} ∪ (10; +∞).
Первый множитель: |y| = x + 1 — «галочка» с вершиной (−1; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 3)2 + y2 = 8 — окружность с центром (3; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 2), и все условия зависят лишь от k2 = a − 2.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 6x + 1 = 0, четверть дискриминанта равна 9 − (1 + k2), поэтому две точки при k2 < 8 и ни одной при k2 > 8.
Ответ: {2} ∪ (10; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(|y| − x − 1)(x2 − 10x + y2 + 3)x + 1 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
(|y| − x − 1)(x2 − 10x + y2 + 3)x + 1 = 0y = ·x
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{2} ∪ (28/3; +∞)
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x ≠ −1.
Первый множитель: |y| = x + 1 — «галочка» с вершиной (−1; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 22 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 2), и все условия зависят лишь от k2 = a − 2.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 3 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − 3(1 + k2), поэтому две точки при k2 < 22/3 и ни одной при k2 > 22/3.
Ответ: {2} ∪ (28/3; +∞).
Первый множитель: |y| = x + 1 — «галочка» с вершиной (−1; 0), но сама вершина выколота.
Второй: (x − 5)2 + y2 = 22 — окружность с центром (5; 0) и радиусом .
Вторая строка системы — прямая y = kx с k = ≥ 0 (она есть только при a ≥ 2), и все условия зависят лишь от k2 = a − 2.
С «галочкой»: при x < 0 всегда одна точка (при k = 0 она совпадает с выколотой вершиной), при x > 0 точка появляется только если k > 1.
С окружностью: (1 + k2)x2 − 10x + 3 = 0, четверть дискриминанта равна 25 − 3(1 + k2), поэтому две точки при k2 < 22/3 и ни одной при k2 > 22/3.
Ответ: {2} ∪ (28/3; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.