Ровно один корень: (x²+kx+m+2a²)² = 8a²(x²+kx+m) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2x + 3 + 2a22 = 8a2(x2 + 2x + 3)
имеет ровно один корень.
x2 + 2x + 3 + 2a22 = 8a2(x2 + 2x + 3)
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−1} ∪ {1}
Решение
Обозначим s = x2 + 2x + 3. Уравнение принимает вид s + 2a22 = 8a2s, то есть s2 − 4a2s + 4a4 = 0, или s − 2a22 = 0.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 2x + 3 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 4 − 12 + 8a2 = 8a2 − 8.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 1.
Ответ: {−1} ∪ {1}.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 2x + 3 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 4 − 12 + 8a2 = 8a2 − 8.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 1.
Ответ: {−1} ∪ {1}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2 + 2a22 = 8a2(x2 + 2)
имеет ровно один корень.
x2 + 2 + 2a22 = 8a2(x2 + 2)
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−1} ∪ {1}
Решение
Обозначим s = x2 + 2. Уравнение принимает вид s + 2a22 = 8a2s, то есть s2 − 4a2s + 4a4 = 0, или s − 2a22 = 0.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 2 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 0 − 8 + 8a2 = 8a2 − 8.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 1.
Ответ: {−1} ∪ {1}.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 2 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 0 − 8 + 8a2 = 8a2 − 8.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 1.
Ответ: {−1} ∪ {1}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 2x + 19 + 2a22 = 8a2(x2 + 2x + 19)
имеет ровно один корень.
x2 + 2x + 19 + 2a22 = 8a2(x2 + 2x + 19)
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−3} ∪ {3}
Решение
Обозначим s = x2 + 2x + 19. Уравнение принимает вид s + 2a22 = 8a2s, то есть s2 − 4a2s + 4a4 = 0, или s − 2a22 = 0.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 2x + 19 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 4 − 76 + 8a2 = 8a2 − 72.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 9.
Ответ: {−3} ∪ {3}.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 2x + 19 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 4 − 76 + 8a2 = 8a2 − 72.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 9.
Ответ: {−3} ∪ {3}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 6x + 27 + 2a22 = 8a2(x2 + 6x + 27)
имеет ровно один корень.
x2 + 6x + 27 + 2a22 = 8a2(x2 + 6x + 27)
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−3} ∪ {3}
Решение
Обозначим s = x2 + 6x + 27. Уравнение принимает вид s + 2a22 = 8a2s, то есть s2 − 4a2s + 4a4 = 0, или s − 2a22 = 0.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 6x + 27 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 36 − 108 + 8a2 = 8a2 − 72.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 9.
Ответ: {−3} ∪ {3}.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 6x + 27 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 36 − 108 + 8a2 = 8a2 − 72.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 9.
Ответ: {−3} ∪ {3}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + 4x + 6 + 2a22 = 8a2(x2 + 4x + 6)
имеет ровно один корень.
x2 + 4x + 6 + 2a22 = 8a2(x2 + 4x + 6)
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−1} ∪ {1}
Решение
Обозначим s = x2 + 4x + 6. Уравнение принимает вид s + 2a22 = 8a2s, то есть s2 − 4a2s + 4a4 = 0, или s − 2a22 = 0.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 4x + 6 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 16 − 24 + 8a2 = 8a2 − 8.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 1.
Ответ: {−1} ∪ {1}.
Значит s = 2a2, то есть x2 + 4x + 6 − 2a2 = 0 — квадратное уравнение с дискриминантом 16 − 24 + 8a2 = 8a2 − 8.
Ровно один корень — когда дискриминант равен нулю: a2 = 1.
Ответ: {−1} ∪ {1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.