Ровно один корень: (x−pa)/(x+c) + (x−d)/(x−a) = 1 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x − 2ax + 2 + x + 2x − a = 1
имеет ровно один корень.
x − 2ax + 2 + x + 2x − a = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−3} ∪ {−2}
Решение
ОДЗ: x ≠ −2 и x ≠ a. Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки — квадратичные слагаемые частично сокращаются, и остаётся
x2 − (2a − 2)x + 2a2 + 2a + 4 = 0.
Значение x = −2 обращает левую часть в 2a2 + 6a + 4, а x = a — в (a + 2)(a + 2), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-4a2 − 16a − 12 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−3} ∪ {−2}.
x2 − (2a − 2)x + 2a2 + 2a + 4 = 0.
Значение x = −2 обращает левую часть в 2a2 + 6a + 4, а x = a — в (a + 2)(a + 2), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-4a2 − 16a − 12 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−3} ∪ {−2}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x − 4ax + 3 + x − 2x − a = 1
имеет ровно один корень.
x − 4ax + 3 + x − 2x − a = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−7} ∪ {−3} ∪ {−3/4} ∪ {2}
Решение
ОДЗ: x ≠ −3 и x ≠ a. Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки — квадратичные слагаемые частично сокращаются, и остаётся
x2 − (4a + 2)x + 4a2 + 3a − 6 = 0.
Значение x = −3 обращает левую часть в 4a2 + 15a + 9, а x = a — в (a + 3)(a − 2), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант ( + 4a + 28 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−7} ∪ {−3} ∪ {−3/4} ∪ {2}.
x2 − (4a + 2)x + 4a2 + 3a − 6 = 0.
Значение x = −3 обращает левую часть в 4a2 + 15a + 9, а x = a — в (a + 3)(a − 2), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант ( + 4a + 28 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−7} ∪ {−3} ∪ {−3/4} ∪ {2}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x − 3ax + 3 + x − 3x − a = 1
имеет ровно один корень.
x − 3ax + 3 + x − 3x − a = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−1} ∪ {3} ∪ {5}
Решение
ОДЗ: x ≠ −3 и x ≠ a. Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки — квадратичные слагаемые частично сокращаются, и остаётся
x2 − (3a + 3)x + 3a2 + 3a − 9 = 0.
Значение x = −3 обращает левую часть в 3a2 + 12a + 9, а x = a — в (a + 3)(a − 3), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-3a2 + 6a + 45 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−1} ∪ {3} ∪ {5}.
x2 − (3a + 3)x + 3a2 + 3a − 9 = 0.
Значение x = −3 обращает левую часть в 3a2 + 12a + 9, а x = a — в (a + 3)(a − 3), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-3a2 + 6a + 45 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−1} ∪ {3} ∪ {5}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x − ax + 4 + x + 1x − a = 1
имеет ровно один корень.
x − ax + 4 + x + 1x − a = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−5} ∪ {−4}
Решение
ОДЗ: x ≠ −4 и x ≠ a. Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки — квадратичные слагаемые частично сокращаются, и остаётся
x2 − (a − 1)x + a2 + 4a + 4 = 0.
Значение x = −4 обращает левую часть в a2 + 8a + 16, а x = a — в (a + 4)(a + 1), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-3a2 − 18a − 15 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−5} ∪ {−4}.
x2 − (a − 1)x + a2 + 4a + 4 = 0.
Значение x = −4 обращает левую часть в a2 + 8a + 16, а x = a — в (a + 4)(a + 1), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-3a2 − 18a − 15 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−5} ∪ {−4}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x − 3ax + 1 + x + 1x − a = 1
имеет ровно один корень.
x − 3ax + 1 + x + 1x − a = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−3} ∪ {−1}
Решение
ОДЗ: x ≠ −1 и x ≠ a. Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки — квадратичные слагаемые частично сокращаются, и остаётся
x2 − (3a − 1)x + 3a2 + a + 1 = 0.
Значение x = −1 обращает левую часть в 3a2 + 4a + 1, а x = a — в (a + 1)(a + 1), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-3a2 − 10a − 3 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−3} ∪ {−1}.
x2 − (3a − 1)x + 3a2 + a + 1 = 0.
Значение x = −1 обращает левую часть в 3a2 + 4a + 1, а x = a — в (a + 1)(a + 1), поэтому запрещённые корни появляются лишь при отдельных значениях a.
Ровно один корень — это либо нулевой дискриминант (-3a2 − 10a − 3 = 0), либо два различных корня, из которых ровно один выброшен ОДЗ.
Ответ: {−3} ∪ {−1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.