Ровно одна точка минимума: f = kax⁴−px³+qx²+c на [−1;1] — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a ≥ 0, при каждом из которых функция
f(x) = ax4 − 8x3 + 3x2 − 7
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
f(x) = ax4 − 8x3 + 3x2 − 7
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
Показать ответ
[0; 9/2] ∪ [6; +∞)
Решение
Производная равна f′(x) = 4ax3 − 24x2 + 6x = x(4ax2 − 24x + 6).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 244a и произведение 64a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 6, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 9/2 (вместе с a > 3).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 9/2 < a < 6, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 9/2] ∪ [6; +∞).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 244a и произведение 64a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 6, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 9/2 (вместе с a > 3).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 9/2 < a < 6, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 9/2] ∪ [6; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a ≥ 0, при каждом из которых функция
f(x) = 3ax4 − 6x3 + 3x2 − 3
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
f(x) = 3ax4 − 6x3 + 3x2 − 3
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
Показать ответ
[0; 1] ∪ [9/8; +∞)
Решение
Производная равна f′(x) = 12ax3 − 18x2 + 6x = x(12ax2 − 18x + 6).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 1812a и произведение 612a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 9/8, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 1 (вместе с a > 3/4).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 1 < a < 9/8, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 1] ∪ [9/8; +∞).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 1812a и произведение 612a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 9/8, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 1 (вместе с a > 3/4).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 1 < a < 9/8, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 1] ∪ [9/8; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a ≥ 0, при каждом из которых функция
f(x) = 4ax4 − 12x3 + x2 + 1
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
f(x) = 4ax4 − 12x3 + x2 + 1
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
Показать ответ
[0; 17/8] ∪ [81/8; +∞)
Решение
Производная равна f′(x) = 16ax3 − 36x2 + 2x = x(16ax2 − 36x + 2).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 3616a и произведение 216a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 81/8, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 17/8 (вместе с a > 9/8).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 17/8 < a < 81/8, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 17/8] ∪ [81/8; +∞).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 3616a и произведение 216a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 81/8, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 17/8 (вместе с a > 9/8).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 17/8 < a < 81/8, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 17/8] ∪ [81/8; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a ≥ 0, при каждом из которых функция
f(x) = ax4 − 10x3 + x2 − 7
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
f(x) = ax4 − 10x3 + x2 − 7
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
Показать ответ
[0; 7] ∪ [225/8; +∞)
Решение
Производная равна f′(x) = 4ax3 − 30x2 + 2x = x(4ax2 − 30x + 2).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 304a и произведение 24a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 225/8, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 7 (вместе с a > 15/4).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 7 < a < 225/8, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 7] ∪ [225/8; +∞).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 304a и произведение 24a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 225/8, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 7 (вместе с a > 15/4).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 7 < a < 225/8, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; 7] ∪ [225/8; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a ≥ 0, при каждом из которых функция
f(x) = 3ax4 − 6x3 + 6x2 − 7
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
f(x) = 3ax4 − 6x3 + 6x2 − 7
имеет на отрезке [−1; 1] ровно одну точку минимума.
Показать ответ
[0; +∞)
Решение
Производная равна f′(x) = 12ax3 − 18x2 + 12x = x(12ax2 − 18x + 12).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 1812a и произведение 1212a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 9/16, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 1/2 (вместе с a > 3/4).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 1/2 < a < 9/16, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; +∞).
При a > 0 у трёхчлена сумма корней 1812a и произведение 1212a положительны, значит оба корня положительны. Тогда слева от нуля f′ < 0, а сразу справа f′ > 0 — точка x = 0 всегда является точкой минимума.
Больший корень x2 даёт вторую точку минимума, но только если он лежит СТРОГО внутри отрезка. Корни различны при a < 9/16, а неравенство x2 < 1 после возведения в квадрат превращается в a > 1/2 (вместе с a > 3/4).
Значит вторая точка минимума появляется ровно при 1/2 < a < 9/16, а во всех остальных случаях (включая a = 0) точка минимума одна.
Ответ: [0; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.