Ровно одно решение: {две точки; круг с центром (a; 2a)} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x − 3)2 + (y − 2)2)((x − 1)2 + (y − 4)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
((x − 3)2 + (y − 2)2)((x − 1)2 + (y − 4)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
(13; 17]
Решение
Оба множителя в первой строке неотрицательны, поэтому произведение ≤ 0 только если один из них равен нулю: решения первой строки — две точки A(3; 2) и B(1; 4).
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [1; 13], для B — a ∈ [1; 17]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: (13; 17].
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [1; 13], для B — a ∈ [1; 17]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: (13; 17].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x − 6)2 + (y − 4)2)((x − 9)2 + (y − 6)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
((x − 6)2 + (y − 4)2)((x − 9)2 + (y − 6)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
[2; 3) ∪ (26; 39]
Решение
Оба множителя в первой строке неотрицательны, поэтому произведение ≤ 0 только если один из них равен нулю: решения первой строки — две точки A(6; 4) и B(9; 6).
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [2; 26], для B — a ∈ [3; 39]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [2; 3) ∪ (26; 39].
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [2; 26], для B — a ∈ [3; 39]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [2; 3) ∪ (26; 39].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x − 9)2 + (y − 6)2)((x − 13)2 + (y − 4)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
((x − 9)2 + (y − 6)2)((x − 13)2 + (y − 4)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
[3; 5) ∪ (37; 39]
Решение
Оба множителя в первой строке неотрицательны, поэтому произведение ≤ 0 только если один из них равен нулю: решения первой строки — две точки A(9; 6) и B(13; 4).
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [3; 39], для B — a ∈ [5; 37]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [3; 5) ∪ (37; 39].
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [3; 39], для B — a ∈ [5; 37]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [3; 5) ∪ (37; 39].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x − 1)2 + (y − 4)2)((x − 13)2 + (y − 4)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
((x − 1)2 + (y − 4)2)((x − 13)2 + (y − 4)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
[1; 5) ∪ (17; 37]
Решение
Оба множителя в первой строке неотрицательны, поэтому произведение ≤ 0 только если один из них равен нулю: решения первой строки — две точки A(1; 4) и B(13; 4).
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [1; 17], для B — a ∈ [5; 37]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [1; 5) ∪ (17; 37].
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [1; 17], для B — a ∈ [5; 37]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [1; 5) ∪ (17; 37].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
((x − 2)2 + (y − 8)2)((x − 12)2 + (y − 8)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
((x − 2)2 + (y − 8)2)((x − 12)2 + (y − 8)2) ≤ 0(x − a)2 + (y − 2a)2 ≤ 4a2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
[2; 4) ∪ (34; 52]
Решение
Оба множителя в первой строке неотрицательны, поэтому произведение ≤ 0 только если один из них равен нулю: решения первой строки — две точки A(2; 8) и B(12; 8).
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [2; 34], для B — a ∈ [4; 52]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [2; 4) ∪ (34; 52].
Вторая строка — круг с центром (a; 2a) радиуса 2|a|: центр бежит по прямой y = 2x, радиус растёт вместе с |a|.
Точка (u; v) лежит в круге ⟺ (u − a)2 + (v − 2a)2 ≤ 4a2 ⟺ a2 − 2(u + 2v)a + u2 + v2 ≤ 0.
Для A это a ∈ [2; 34], для B — a ∈ [4; 52]. Ровно одно решение — когда a попадает ровно в один из этих отрезков.
Ответ: [2; 4) ∪ (34; 52].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.