Ровно одно решение: {y = f(x); x = f(y)} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 1)x2 + 2ax + a + 1x = (a + 1)y2 + 2ay + a + 1
имеет ровно одно решение.
y = (a + 1)x2 + 2ax + a + 1x = (a + 1)y2 + 2ay + a + 1
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
{−1} ∪ {−1/4}
Решение
Система симметрична: если (x; y) — решение, то и (y; x). Вычтем строки: y − x = (a + 1)(x2 − y2) + 2a(x − y), то есть (y − x)(1 + (a + 1)(x + y) + 2a) = 0.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 1; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 1)x2 + (2a − 1)x + a + 1 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −12a − 7 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −1 оно линейное, а при a = −1/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−1} ∪ {−1/4}.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 1; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 1)x2 + (2a − 1)x + a + 1 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −12a − 7 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −1 оно линейное, а при a = −1/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−1} ∪ {−1/4}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 4)x2 + 2ax + a + 1x = (a + 4)y2 + 2ay + a + 1
имеет ровно одно решение.
y = (a + 4)x2 + 2ax + a + 1x = (a + 4)y2 + 2ay + a + 1
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {−5/8}
Решение
Система симметрична: если (x; y) — решение, то и (y; x). Вычтем строки: y − x = (a + 4)(x2 − y2) + 2a(x − y), то есть (y − x)(1 + (a + 4)(x + y) + 2a) = 0.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 4; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 4)x2 + (2a − 1)x + a + 1 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −24a − 19 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −4 оно линейное, а при a = −5/8 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−4} ∪ {−5/8}.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 4; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 4)x2 + (2a − 1)x + a + 1 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −24a − 19 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −4 оно линейное, а при a = −5/8 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−4} ∪ {−5/8}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 2)x2 + 2ax + a − 2x = (a + 2)y2 + 2ay + a − 2
имеет ровно одно решение.
y = (a + 2)x2 + 2ax + a − 2x = (a + 2)y2 + 2ay + a − 2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
{−2} ∪ {17/4}
Решение
Система симметрична: если (x; y) — решение, то и (y; x). Вычтем строки: y − x = (a + 2)(x2 − y2) + 2a(x − y), то есть (y − x)(1 + (a + 2)(x + y) + 2a) = 0.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 2; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 2)x2 + (2a − 1)x + a − 2 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −4a − -13 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −2 оно линейное, а при a = 17/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−2} ∪ {17/4}.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 2; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 2)x2 + (2a − 1)x + a − 2 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −4a − -13 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −2 оно линейное, а при a = 17/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−2} ∪ {17/4}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 3)x2 + 2ax + a − 3x = (a + 3)y2 + 2ay + a − 3
имеет ровно одно решение.
y = (a + 3)x2 + 2ax + a − 3x = (a + 3)y2 + 2ay + a − 3
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
{−3} ∪ {37/4}
Решение
Система симметрична: если (x; y) — решение, то и (y; x). Вычтем строки: y − x = (a + 3)(x2 − y2) + 2a(x − y), то есть (y − x)(1 + (a + 3)(x + y) + 2a) = 0.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 3; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 3)x2 + (2a − 1)x + a − 3 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −4a − -33 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −3 оно линейное, а при a = 37/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−3} ∪ {37/4}.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 3; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 3)x2 + (2a − 1)x + a − 3 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −4a − -33 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −3 оно линейное, а при a = 37/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−3} ∪ {37/4}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y = (a + 2)x2 + 2ax + a + 2x = (a + 2)y2 + 2ay + a + 2
имеет ровно одно решение.
y = (a + 2)x2 + 2ax + a + 2x = (a + 2)y2 + 2ay + a + 2
имеет ровно одно решение.
Показать ответ
{−2} ∪ {−3/4}
Решение
Система симметрична: если (x; y) — решение, то и (y; x). Вычтем строки: y − x = (a + 2)(x2 − y2) + 2a(x − y), то есть (y − x)(1 + (a + 2)(x + y) + 2a) = 0.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 2; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 2)x2 + (2a − 1)x + a + 2 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −20a − 19 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −2 оно линейное, а при a = −3/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−2} ∪ {−3/4}.
Значит либо y = x, либо x + y = −1 + 2aa + 2; во втором случае решения идут парами (x; y) и (y; x), поэтому их всегда чётное число.
На диагонали: (a + 2)x2 + (2a − 1)x + a + 2 = 0. Внедиагональные решения существуют, когда −20a − 19 > 0.
Ровно одно решение — когда диагональное уравнение даёт ровно один корень (при a = −2 оно линейное, а при a = −3/4 его дискриминант равен нулю) и при этом внедиагональных пар нет.
Ответ: {−2} ∪ {−3/4}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.