Ровно шесть решений: {две прямые; |xy|=a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(ay + ax + 54)(y + x − 2a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
(ay + ax + 54)(y + x − 2a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
Показать ответ
(0; 1) ∪ (9; +∞)
Решение
При a ≠ 0 первая строка задаёт две параллельные прямые: x + y = −54/a и x + y = 2a.
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 2916/a2 > 4a ⟺ a < 9, для второй — 4a2 > 4a ⟺ a > 1.
Ответ: (0; 1) ∪ (9; +∞).
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 2916/a2 > 4a ⟺ a < 9, для второй — 4a2 > 4a ⟺ a > 1.
Ответ: (0; 1) ∪ (9; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(ay + ax + 54)(y + x − 3a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
(ay + ax + 54)(y + x − 3a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
Показать ответ
(0; 4/9) ∪ (9; +∞)
Решение
При a ≠ 0 первая строка задаёт две параллельные прямые: x + y = −54/a и x + y = 3a.
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 2916/a2 > 4a ⟺ a < 9, для второй — 9a2 > 4a ⟺ a > 4/9.
Ответ: (0; 4/9) ∪ (9; +∞).
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 2916/a2 > 4a ⟺ a < 9, для второй — 9a2 > 4a ⟺ a > 4/9.
Ответ: (0; 4/9) ∪ (9; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(ay + ax + 54)(y + x − a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
(ay + ax + 54)(y + x − a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
Показать ответ
(0; 4) ∪ (9; +∞)
Решение
При a ≠ 0 первая строка задаёт две параллельные прямые: x + y = −54/a и x + y = a.
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 2916/a2 > 4a ⟺ a < 9, для второй — a2 > 4a ⟺ a > 4.
Ответ: (0; 4) ∪ (9; +∞).
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 2916/a2 > 4a ⟺ a < 9, для второй — a2 > 4a ⟺ a > 4.
Ответ: (0; 4) ∪ (9; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(ay + ax + 16)(y + x − 3a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
(ay + ax + 16)(y + x − 3a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
Показать ответ
(0; 4/9) ∪ (4; +∞)
Решение
При a ≠ 0 первая строка задаёт две параллельные прямые: x + y = −16/a и x + y = 3a.
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 256/a2 > 4a ⟺ a < 4, для второй — 9a2 > 4a ⟺ a > 4/9.
Ответ: (0; 4/9) ∪ (4; +∞).
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 256/a2 > 4a ⟺ a < 4, для второй — 9a2 > 4a ⟺ a > 4/9.
Ответ: (0; 4/9) ∪ (4; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(ay + ax + 2)(y + x − 3a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
(ay + ax + 2)(y + x − 3a) = 0|xy| = a
имеет ровно шесть различных решений.
Показать ответ
(0; 4/9) ∪ (1; +∞)
Решение
При a ≠ 0 первая строка задаёт две параллельные прямые: x + y = −2/a и x + y = 3a.
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 4/a2 > 4a ⟺ a < 1, для второй — 9a2 > 4a ⟺ a > 4/9.
Ответ: (0; 4/9) ∪ (1; +∞).
Вторая при a > 0 — две гиперболы xy = a и xy = −a (при a < 0 решений нет, при a = 0 остаётся только точка (0; 0)).
Подстановка y = s − x даёт x2 − sx + a = 0 и x2 − sx − a = 0. Второе всегда имеет два корня, первое — два при s2 > 4a, один при s2 = 4a и ни одного при s2 < 4a. Значит каждая прямая даёт 2, 3 или 4 точки.
Шесть точек — это 4 + 2, то есть ровно для ОДНОЙ из прямых выполнено s2 > 4a: для первой это 4/a2 > 4a ⟺ a < 1, для второй — 9a2 > 4a ⟺ a > 4/9.
Ответ: (0; 4/9) ∪ (1; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.