Ровно три корня: |x²−px−q|−ka = |x−a|−c — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 2 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 + 2x − 3| − a = |x − a| − 1
имеет ровно три различных корня.
|x2 + 2x − 3| − a = |x − a| − 1
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(−1; 1] ∪ {17/8}
Решение
Модули раскрываются на промежутках, границами которых служат корни трёхчлена (x = -3 и x = 1) и точка x = a.
На каждом таком промежутке уравнение становится квадратным: ±(x2 + 2x − 3) − a = ±(x − a) − 1.
Число корней меняется только там, где дискриминант куска обращается в нуль, где корень попадает на границу промежутка или где сама точка a проходит через -3 или 1. Между такими значениями ответ постоянен.
Ответ: (−1; 1] ∪ {17/8}.
На каждом таком промежутке уравнение становится квадратным: ±(x2 + 2x − 3) − a = ±(x − a) − 1.
Число корней меняется только там, где дискриминант куска обращается в нуль, где корень попадает на границу промежутка или где сама точка a проходит через -3 или 1. Между такими значениями ответ постоянен.
Ответ: (−1; 1] ∪ {17/8}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 − 2x − 3| − a = |x − a| − 3
имеет ровно три различных корня.
|x2 − 2x − 3| − a = |x − a| − 3
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(1; 3] ∪ {33/8}
Решение
Модули раскрываются на промежутках, границами которых служат корни трёхчлена (x = -1 и x = 3) и точка x = a.
На каждом таком промежутке уравнение становится квадратным: ±(x2 − 2x − 3) − a = ±(x − a) − 3.
Число корней меняется только там, где дискриминант куска обращается в нуль, где корень попадает на границу промежутка или где сама точка a проходит через -1 или 3. Между такими значениями ответ постоянен.
Ответ: (1; 3] ∪ {33/8}.
На каждом таком промежутке уравнение становится квадратным: ±(x2 − 2x − 3) − a = ±(x − a) − 3.
Число корней меняется только там, где дискриминант куска обращается в нуль, где корень попадает на границу промежутка или где сама точка a проходит через -1 или 3. Между такими значениями ответ постоянен.
Ответ: (1; 3] ∪ {33/8}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.