Ровно три: {окружность радиуса m√2; y=|x−a|+w} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 4)2 + (y − 15)2 = 200y = |x − a| + 1
имеет ровно три различных решения.
(x − 4)2 + (y − 15)2 = 200y = |x − a| + 1
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
{−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}
Решение
Вторая строка — «галочка» с вершиной (a; 1) и наклонами ±1: при x ≥ a это y = x − a + 1, при x ≤ a — y = −x + a + 1.
Первая строка — окружность с центром (4; 15) и радиусом 10.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 1) при (a − 4)2 = 200 − 196 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}.
Первая строка — окружность с центром (4; 15) и радиусом 10.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 1) при (a − 4)2 = 200 − 196 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 6)2 + (y − 7)2 = 50y = |x − a|
имеет ровно три различных решения.
(x − 6)2 + (y − 7)2 = 50y = |x − a|
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
{3} ∪ {5} ∪ {7} ∪ {9}
Решение
Вторая строка — «галочка» с вершиной (a; 0) и наклонами ±1: при x ≥ a это y = x − a + 0, при x ≤ a — y = −x + a + 0.
Первая строка — окружность с центром (6; 7) и радиусом 5.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 0) при (a − 6)2 = 50 − 49 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {3} ∪ {5} ∪ {7} ∪ {9}.
Первая строка — окружность с центром (6; 7) и радиусом 5.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 0) при (a − 6)2 = 50 − 49 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {3} ∪ {5} ∪ {7} ∪ {9}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 4)2 + (y − 14)2 = 200y = |x − a|
имеет ровно три различных решения.
(x − 4)2 + (y − 14)2 = 200y = |x − a|
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
{−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}
Решение
Вторая строка — «галочка» с вершиной (a; 0) и наклонами ±1: при x ≥ a это y = x − a + 0, при x ≤ a — y = −x + a + 0.
Первая строка — окружность с центром (4; 14) и радиусом 10.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 0) при (a − 4)2 = 200 − 196 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}.
Первая строка — окружность с центром (4; 14) и радиусом 10.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 0) при (a − 4)2 = 200 − 196 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 3)2 + (y − 8)2 = 50y = |x − a| + 1
имеет ровно три различных решения.
(x − 3)2 + (y − 8)2 = 50y = |x − a| + 1
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
{0} ∪ {2} ∪ {4} ∪ {6}
Решение
Вторая строка — «галочка» с вершиной (a; 1) и наклонами ±1: при x ≥ a это y = x − a + 1, при x ≤ a — y = −x + a + 1.
Первая строка — окружность с центром (3; 8) и радиусом 5.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 1) при (a − 3)2 = 50 − 49 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {0} ∪ {2} ∪ {4} ∪ {6}.
Первая строка — окружность с центром (3; 8) и радиусом 5.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 1) при (a − 3)2 = 50 − 49 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {0} ∪ {2} ∪ {4} ∪ {6}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x − 4)2 + (y − 16)2 = 200y = |x − a| + 2
имеет ровно три различных решения.
(x − 4)2 + (y − 16)2 = 200y = |x − a| + 2
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
{−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}
Решение
Вторая строка — «галочка» с вершиной (a; 2) и наклонами ±1: при x ≥ a это y = x − a + 2, при x ≤ a — y = −x + a + 2.
Первая строка — окружность с центром (4; 16) и радиусом 10.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 2) при (a − 4)2 = 200 − 196 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}.
Первая строка — окружность с центром (4; 16) и радиусом 10.
Подставляя каждую ветвь, получаем квадратное уравнение; важно, что корни годятся только на своём луче (x ≥ a или x ≤ a), а вершина (a; 2) при (a − 4)2 = 200 − 196 лежит на окружности и считается дважды.
Три различных точки получаются, когда одна ветвь даёт две точки, а другая — одну (либо когда четыре точки склеиваются в три из-за вершины).
Ответ: {−2} ∪ {2} ∪ {6} ∪ {10}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.