Ровно три различных корня: √((w²+2)x²+2ax+1) = x²+ax+1 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
[−5/2; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 5/2]
Решение
Возведение в квадрат равносильно при x2 + ax + 1 ≥ 0. Свободные члены и слагаемые с x сокращаются:
6x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 4)x2 = 0, то есть x2(x + a − 2)(x + a + 2) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 2.
Правая часть в точке x = −a + 2 равна 5 − 2a, а в точке x = −a − 2 равна 5 + 2a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 5/2.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±2.
Ответ: [−5/2; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 5/2].
6x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 4)x2 = 0, то есть x2(x + a − 2)(x + a + 2) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 2.
Правая часть в точке x = −a + 2 равна 5 − 2a, а в точке x = −a − 2 равна 5 + 2a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 5/2.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±2.
Ответ: [−5/2; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; 5/2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
[−10/3; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 10/3]
Решение
Возведение в квадрат равносильно при x2 + ax + 1 ≥ 0. Свободные члены и слагаемые с x сокращаются:
11x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 9)x2 = 0, то есть x2(x + a − 3)(x + a + 3) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 3.
Правая часть в точке x = −a + 3 равна 10 − 3a, а в точке x = −a − 3 равна 10 + 3a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 10/3.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±3.
Ответ: [−10/3; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 10/3].
11x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 9)x2 = 0, то есть x2(x + a − 3)(x + a + 3) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 3.
Правая часть в точке x = −a + 3 равна 10 − 3a, а в точке x = −a − 3 равна 10 + 3a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 10/3.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±3.
Ответ: [−10/3; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 10/3].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
[−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 2]
Решение
Возведение в квадрат равносильно при x2 + ax + 1 ≥ 0. Свободные члены и слагаемые с x сокращаются:
3x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 1)x2 = 0, то есть x2(x + a − 1)(x + a + 1) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 1.
Правая часть в точке x = −a + 1 равна 2 − a, а в точке x = −a − 1 равна 2 + a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 2.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±1.
Ответ: [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 2].
3x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 1)x2 = 0, то есть x2(x + a − 1)(x + a + 1) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 1.
Правая часть в точке x = −a + 1 равна 2 − a, а в точке x = −a − 1 равна 2 + a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 2.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±1.
Ответ: [−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
= x2 + ax + 1
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
[−17/4; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 17/4]
Решение
Возведение в квадрат равносильно при x2 + ax + 1 ≥ 0. Свободные члены и слагаемые с x сокращаются:
18x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 16)x2 = 0, то есть x2(x + a − 4)(x + a + 4) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 4.
Правая часть в точке x = −a + 4 равна 17 − 4a, а в точке x = −a − 4 равна 17 + 4a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 17/4.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±4.
Ответ: [−17/4; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 17/4].
18x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⟹ x4 + 2ax3 + (a2 − 16)x2 = 0, то есть x2(x + a − 4)(x + a + 4) = 0.
Кандидаты: x = 0 (в нём правая часть равна 1 — корень всегда) и x = −a ± 4.
Правая часть в точке x = −a + 4 равна 17 − 4a, а в точке x = −a − 4 равна 17 + 4a, поэтому оба этих корня годятся ровно при |a| ≤ 17/4.
Осталось потребовать, чтобы ни один из них не совпал с нулём: a ≠ ±4.
Ответ: [−17/4; −4) ∪ (−4; 4) ∪ (4; 17/4].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.