Ровно три решения: {√(2mx−x²)=√(2may−a²y²); y=x²} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы с логарифмом или корнем и кривой. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
Показать ответ
[1/8; 1/4) ∪ (1/4; +∞)
Решение
Обе части — значения одной функции f(t) = 8t − t2 при t = x и t = ay. Из f(x) = f(ay) следует ay = x или ay = 8 − x, а ОДЗ даёт 0 ≤ x ≤ 8.
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 8 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/8; 1/4) ∪ (1/4; +∞).
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 8 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/8; 1/4) ∪ (1/4; +∞).
Пример 2
Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
Показать ответ
[1/2; 1) ∪ (1; +∞)
Решение
Обе части — значения одной функции f(t) = 2t − t2 при t = x и t = ay. Из f(x) = f(ay) следует ay = x или ay = 2 − x, а ОДЗ даёт 0 ≤ x ≤ 2.
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 2 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/2; 1) ∪ (1; +∞).
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 2 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/2; 1) ∪ (1; +∞).
Пример 3
Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
Показать ответ
[1/4; 1/2) ∪ (1/2; +∞)
Решение
Обе части — значения одной функции f(t) = 4t − t2 при t = x и t = ay. Из f(x) = f(ay) следует ay = x или ay = 4 − x, а ОДЗ даёт 0 ≤ x ≤ 4.
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 4 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/4; 1/2) ∪ (1/2; +∞).
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 4 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/4; 1/2) ∪ (1/2; +∞).
Пример 4
Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых система
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
= y = x2
имеет ровно 3 решения.
Показать ответ
[1/6; 1/3) ∪ (1/3; +∞)
Решение
Обе части — значения одной функции f(t) = 6t − t2 при t = x и t = ay. Из f(x) = f(ay) следует ay = x или ay = 6 − x, а ОДЗ даёт 0 ≤ x ≤ 6.
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 6 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/6; 1/3) ∪ (1/3; +∞).
Подставляя y = x2: ax2 = x ⟺ x = 0 или x = 1/a; ax2 + x − 6 = 0 — ещё до двух корней.
Считаем, при каких a > 0 различных подходящих x ровно три (y определяется однозначно).
Ответ: [1/6; 1/3) ∪ (1/3; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.