Ровно три решения: {ось Oy + луч прямой + полуокружность; пучок} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − 2x − 62) = |x|(x2 + y2 − y + 2x − 66)y = a(x + 10)
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − 2x − 62) = |x|(x2 + y2 − y + 2x − 66)y = a(x + 10)
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−4/3; −4/5) ∪ (−1/5; 4/5] ∪ {4/3}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0 — вся ось Oy принадлежит кривой, и пучок пересекает её ровно в одной точке (0; 10a).
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 4x + -4 — луч прямой y = 2x − 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 128 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 64.
Пучок y = a(x + 10) проходит через точку (−10; 0). Он касается окружности при a = ±4/3 (так как 102 − 64 = 62), проходит через точки (0; ±8) при a = ±4/5, а прямой становится параллелен при a = 2.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−4/3; −4/5) ∪ (−1/5; 4/5] ∪ {4/3}.
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 4x + -4 — луч прямой y = 2x − 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 128 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 64.
Пучок y = a(x + 10) проходит через точку (−10; 0). Он касается окружности при a = ±4/3 (так как 102 − 64 = 62), проходит через точки (0; ±8) при a = ±4/5, а прямой становится параллелен при a = 2.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−4/3; −4/5) ∪ (−1/5; 4/5] ∪ {4/3}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − 3x − 33) = |x|(x2 + y2 − y + 3x − 39)y = a(x + 10)
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − 3x − 33) = |x|(x2 + y2 − y + 3x − 39)y = a(x + 10)
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−3/4; −3/5) ∪ (−3/10; 3/5] ∪ {3/4}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0 — вся ось Oy принадлежит кривой, и пучок пересекает её ровно в одной точке (0; 10a).
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 6x + -6 — луч прямой y = 3x − 3 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 72 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 36.
Пучок y = a(x + 10) проходит через точку (−10; 0). Он касается окружности при a = ±3/4 (так как 102 − 36 = 82), проходит через точки (0; ±6) при a = ±3/5, а прямой становится параллелен при a = 3.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−3/4; −3/5) ∪ (−3/10; 3/5] ∪ {3/4}.
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 6x + -6 — луч прямой y = 3x − 3 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 72 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 36.
Пучок y = a(x + 10) проходит через точку (−10; 0). Он касается окружности при a = ±3/4 (так как 102 − 36 = 82), проходит через точки (0; ±6) при a = ±3/5, а прямой становится параллелен при a = 3.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−3/4; −3/5) ∪ (−3/10; 3/5] ∪ {3/4}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − x − 18) = |x|(x2 + y2 − y + x − 14)y = a(x + 5)
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − x − 18) = |x|(x2 + y2 − y + x − 14)y = a(x + 5)
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−4/3; −4/5) ∪ (2/5; 4/5] ∪ [1; 4/3)
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0 — вся ось Oy принадлежит кривой, и пучок пересекает её ровно в одной точке (0; 5a).
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 2x + 4 — луч прямой y = x + 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 32 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 16.
Пучок y = a(x + 5) проходит через точку (−5; 0). Он касается окружности при a = ±4/3 (так как 52 − 16 = 32), проходит через точки (0; ±4) при a = ±4/5, а прямой становится параллелен при a = 1.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−4/3; −4/5) ∪ (2/5; 4/5] ∪ [1; 4/3).
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 2x + 4 — луч прямой y = x + 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 32 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 16.
Пучок y = a(x + 5) проходит через точку (−5; 0). Он касается окружности при a = ±4/3 (так как 52 − 16 = 32), проходит через точки (0; ±4) при a = ±4/5, а прямой становится параллелен при a = 1.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−4/3; −4/5) ∪ (2/5; 4/5] ∪ [1; 4/3).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − 3x − 14) = |x|(x2 + y2 − y + 3x − 18)y = a(x + 5)
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − 3x − 14) = |x|(x2 + y2 − y + 3x − 18)y = a(x + 5)
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−4/3; −4/5) ∪ (−2/5; 4/5] ∪ {4/3}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0 — вся ось Oy принадлежит кривой, и пучок пересекает её ровно в одной точке (0; 5a).
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 6x + -4 — луч прямой y = 3x − 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 32 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 16.
Пучок y = a(x + 5) проходит через точку (−5; 0). Он касается окружности при a = ±4/3 (так как 52 − 16 = 32), проходит через точки (0; ±4) при a = ±4/5, а прямой становится параллелен при a = 3.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−4/3; −4/5) ∪ (−2/5; 4/5] ∪ {4/3}.
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 6x + -4 — луч прямой y = 3x − 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 32 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 16.
Пучок y = a(x + 5) проходит через точку (−5; 0). Он касается окружности при a = ±4/3 (так как 52 − 16 = 32), проходит через точки (0; ±4) при a = ±4/5, а прямой становится параллелен при a = 3.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−4/3; −4/5) ∪ (−2/5; 4/5] ∪ {4/3}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − 2x − 34) = |x|(x2 + y2 − y + 2x − 38)y = a(x + 10)
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − 2x − 34) = |x|(x2 + y2 − y + 2x − 38)y = a(x + 10)
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−3/4; −3/5) ∪ (−1/5; 3/5] ∪ {3/4}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0 — вся ось Oy принадлежит кривой, и пучок пересекает её ровно в одной точке (0; 10a).
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 4x + -4 — луч прямой y = 2x − 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 72 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 36.
Пучок y = a(x + 10) проходит через точку (−10; 0). Он касается окружности при a = ±3/4 (так как 102 − 36 = 82), проходит через точки (0; ±6) при a = ±3/5, а прямой становится параллелен при a = 2.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−3/4; −3/5) ∪ (−1/5; 3/5] ∪ {3/4}.
При x > 0 сокращаем на x: скобки равны, то есть 2y = 4x + -4 — луч прямой y = 2x − 2 при x > 0.
При x < 0 модуль меняет знак, и сумма скобок равна нулю: 2x2 + 2y2 − 72 = 0, то есть левая половина окружности x2 + y2 = 36.
Пучок y = a(x + 10) проходит через точку (−10; 0). Он касается окружности при a = ±3/4 (так как 102 − 36 = 82), проходит через точки (0; ±6) при a = ±3/5, а прямой становится параллелен при a = 2.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на луче и полуокружности вместе.
Ответ: (−3/4; −3/5) ∪ (−1/5; 3/5] ∪ {3/4}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.