Ровно три решения: {x(x²+y²+αy+β) = |x|(γy+δ); 4y = 3x+a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 − 4) = |x|(2y + 4)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 − 4) = |x|(2y + 4)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−11; −8) ∪ (−8; 0] ∪ {1}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0, то есть ВСЯ ось Oy принадлежит кривой; прямая 4y = 3x + a пересекает её ровно в одной точке 0; a4.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 2y − 8 = 0, то есть x2 + (y − 1)2 = 9 — правая половина окружности с центром (0; 1) радиуса 3.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 1)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; −1) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 4)x + (a − 4)2 − 144 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 4 ± 15 и a = -4 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 16, -8, 0, -8.
Ответ: (−11; −8) ∪ (−8; 0] ∪ {1}.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 2y − 8 = 0, то есть x2 + (y − 1)2 = 9 — правая половина окружности с центром (0; 1) радиуса 3.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 1)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; −1) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 4)x + (a − 4)2 − 144 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 4 ± 15 и a = -4 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 16, -8, 0, -8.
Ответ: (−11; −8) ∪ (−8; 0] ∪ {1}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − 2) = |x|(y + 2)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − 2) = |x|(y + 2)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−10; −8) ∪ (−8; 0] ∪ {1}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0, то есть ВСЯ ось Oy принадлежит кривой; прямая 4y = 3x + a пересекает её ровно в одной точке 0; a4.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 4 = 0, то есть x2 + y2 = 4 — правая половина окружности с центром (0; 0) радиуса 2.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 1)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; −1) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6ax + a2 − 64 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 0 ± 10 и a = -4 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 8, -8, 0, -8.
Ответ: (−10; −8) ∪ (−8; 0] ∪ {1}.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 4 = 0, то есть x2 + y2 = 4 — правая половина окружности с центром (0; 0) радиуса 2.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 1)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; −1) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6ax + a2 − 64 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 0 ± 10 и a = -4 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 8, -8, 0, -8.
Ответ: (−10; −8) ∪ (−8; 0] ∪ {1}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + y − 4) = |x|(3y + 4)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + y − 4) = |x|(3y + 4)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
{−11} ∪ [−8; 0] ∪ {2}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0, то есть ВСЯ ось Oy принадлежит кривой; прямая 4y = 3x + a пересекает её ровно в одной точке 0; a4.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 2y − 8 = 0, то есть x2 + (y − 1)2 = 9 — правая половина окружности с центром (0; 1) радиуса 3.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 2)2 = 4 — левая половина окружности с центром (0; −2) радиуса 2.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 4)x + (a − 4)2 − 144 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 4 ± 15 и a = -8 ± 10, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 16, -8, 0, -16.
Ответ: {−11} ∪ [−8; 0] ∪ {2}.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 2y − 8 = 0, то есть x2 + (y − 1)2 = 9 — правая половина окружности с центром (0; 1) радиуса 3.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 2)2 = 4 — левая половина окружности с центром (0; −2) радиуса 2.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 4)x + (a − 4)2 − 144 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 4 ± 15 и a = -8 ± 10, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 16, -8, 0, -16.
Ответ: {−11} ∪ [−8; 0] ∪ {2}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 + 3) = |x|(4y)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 + 3) = |x|(4y)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−4; −3) ∪ (3; 4)
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0, то есть ВСЯ ось Oy принадлежит кривой; прямая 4y = 3x + a пересекает её ровно в одной точке 0; a4.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 4y + 3 = 0, то есть x2 + (y − 2)2 = 1 — правая половина окружности с центром (0; 2) радиуса 1.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 2)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; −2) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 8)x + (a − 8)2 − 16 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 8 ± 5 и a = -8 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 12, 4, -4, -12.
Ответ: (−4; −3) ∪ (3; 4).
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 4y + 3 = 0, то есть x2 + (y − 2)2 = 1 — правая половина окружности с центром (0; 2) радиуса 1.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y + 2)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; −2) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 8)x + (a − 8)2 − 16 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 8 ± 5 и a = -8 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 12, 4, -4, -12.
Ответ: (−4; −3) ∪ (3; 4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x(x2 + y2 − 3y) = |x|(y)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
x(x2 + y2 − 3y) = |x|(y)4y = 3x + a
имеет ровно три различных решения.
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 8] ∪ {9}
Решение
При x = 0 первая строка обращается в 0 = 0, то есть ВСЯ ось Oy принадлежит кривой; прямая 4y = 3x + a пересекает её ровно в одной точке 0; a4.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 4y = 0, то есть x2 + (y − 2)2 = 4 — правая половина окружности с центром (0; 2) радиуса 2.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y − 1)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; 1) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 8)x + (a − 8)2 − 64 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 8 ± 10 и a = 4 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 16, 0, 8, 0.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 8] ∪ {9}.
При x > 0 сокращаем на x: x2 + y2 − 4y = 0, то есть x2 + (y − 2)2 = 4 — правая половина окружности с центром (0; 2) радиуса 2.
При x < 0 модуль меняет знак: x2 + (y − 1)2 = 1 — левая половина окружности с центром (0; 1) радиуса 1.
Подставляя прямую, получаем 25x2 + 6(a − 8)x + (a − 8)2 − 64 = 0 (и аналогично для второй окружности); нужны корни строго нужного знака.
Три решения — это точка на оси Oy плюс ровно две точки на полуокружностях. Касание происходит при a = 8 ± 10 и a = 4 ± 5, а точка пересечения переходит через ось Oy при a = 16, 0, 8, 0.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 8] ∪ {9}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.