Сдвиг прямой отрицательный — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Распадающаяся кривая + прямая. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 2x + y − 6) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + 2x + y − 6) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−9; −1]
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 2)(y − x + 3) · √(x + 3) = 0. ОДЗ: −3 ≤ x < 5.
Значит кривая — это горизонталь y = 2, прямая y = x − 3 и вертикаль x = −3.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 2; 2), ((a + 3)/2; (a − 3)/2) и (−3; a + 3) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−9; −1].
Значит кривая — это горизонталь y = 2, прямая y = x − 3 и вертикаль x = −3.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 2; 2), ((a + 3)/2; (a − 3)/2) и (−3; a + 3) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−9; −1].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 3x − y − 6) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + 3x − y − 6) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−6; 1] ∪ {8} ∪ [9; 10)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 3)(y − x + 2) · √(x + 2) = 0. ОДЗ: −2 ≤ x < 6.
Значит кривая — это горизонталь y = 3, прямая y = x − 2 и вертикаль x = −2.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 3; 3), ((a + 2)/2; (a − 2)/2) и (−2; a + 2) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−6; 1] ∪ {8} ∪ [9; 10).
Значит кривая — это горизонталь y = 3, прямая y = x − 2 и вертикаль x = −2.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 3; 3), ((a + 2)/2; (a − 2)/2) и (−2; a + 2) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−6; 1] ∪ {8} ∪ [9; 10).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 4x − 2y − 8) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + 4x − 2y − 8) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−6; 2] ∪ {10} ∪ [11; 12)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 4)(y − x + 2) · √(x + 2) = 0. ОДЗ: −2 ≤ x < 7.
Значит кривая — это горизонталь y = 4, прямая y = x − 2 и вертикаль x = −2.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 4; 4), ((a + 2)/2; (a − 2)/2) и (−2; a + 2) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−6; 2] ∪ {10} ∪ [11; 12).
Значит кривая — это горизонталь y = 4, прямая y = x − 2 и вертикаль x = −2.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 4; 4), ((a + 2)/2; (a − 2)/2) и (−2; a + 2) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−6; 2] ∪ {10} ∪ [11; 12).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
(y2 − xy + 3x − 2y − 3) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
(y2 − xy + 3x − 2y − 3) = 0x + y − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−9; −1] ∪ {7} ∪ [9; 11)
Решение
Первое уравнение распадается: (y − 3)(y − x + 1) · √(x + 4) = 0. ОДЗ: −4 ≤ x < 6.
Значит кривая — это горизонталь y = 3, прямая y = x − 1 и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 3; 3), ((a + 1)/2; (a − 1)/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−9; −1] ∪ {7} ∪ [9; 11).
Значит кривая — это горизонталь y = 3, прямая y = x − 1 и вертикаль x = −4.
Прямая x + y = a пересекает их в точках (a − 3; 3), ((a + 1)/2; (a − 1)/2) и (−4; a + 4) — считаем те, что удовлетворяют ОДЗ, и убираем совпавшие.
Ответ: (−9; −1] ∪ {7} ∪ [9; 11).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.