Сумма модулей = A−B: корни есть, но не в интервале — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x − a2 − 2a + 2| + |x − a2 − a + 1| = a − 1
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (6; 19).
|x − a2 − 2a + 2| + |x − a2 − a + 1| = a − 1
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (6; 19).
Показать ответ
[1; 2] ∪ [4; +∞)
Решение
Обозначим A = a2 + 2a − 2 и B = a2 + a − 1; тогда уравнение — это |x − A| + |x − B| = A − B.
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (6; 19): A ≤ 6 или B ≥ 19.
Ответ: [1; 2] ∪ [4; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (6; 19): A ≤ 6 или B ≥ 19.
Ответ: [1; 2] ∪ [4; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x − a2 − 2a − 1| + |x − a2 − a + 1| = a + 2
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
|x − a2 − 2a − 1| + |x − a2 − a + 1| = a + 2
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
Показать ответ
[−2; 1] ∪ [4; +∞)
Решение
Обозначим A = a2 + 2a + 1 и B = a2 + a − 1; тогда уравнение — это |x − A| + |x − B| = A − B.
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [−2; 1] ∪ [4; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [−2; 1] ∪ [4; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x − a2 − 4a + 1| + |x − a2 + a + 1| = 5a
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
|x − a2 − 4a + 1| + |x − a2 + a + 1| = 5a
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
Показать ответ
[0; 1] ∪ [5; +∞)
Решение
Обозначим A = a2 + 4a − 1 и B = a2 − a − 1; тогда уравнение — это |x − A| + |x − B| = A − B.
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [0; 1] ∪ [5; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [0; 1] ∪ [5; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x − a2 + a + 2| + |x − a2 + 3a − 1| = 2a − 3
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
|x − a2 + a + 2| + |x − a2 + 3a − 1| = 2a − 3
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
Показать ответ
[3/2; 3] ∪ [6; +∞)
Решение
Обозначим A = a2 − a − 2 и B = a2 − 3a + 1; тогда уравнение — это |x − A| + |x − B| = A − B.
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [3/2; 3] ∪ [6; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [3/2; 3] ∪ [6; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x − a2 + 2a − 1| + |x − a2 + 3a − 1| = a
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
|x − a2 + 2a − 1| + |x − a2 + 3a − 1| = a
имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).
Показать ответ
[0; 3] ∪ [6; +∞)
Решение
Обозначим A = a2 − 2a + 1 и B = a2 − 3a + 1; тогда уравнение — это |x − A| + |x − B| = A − B.
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [0; 3] ∪ [6; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B не меньше |A − B| и равна ей РОВНО на отрезке между A и B. Значит корни есть ⟺ A − B ≥ 0, и тогда множество корней — весь отрезок [B; A].
Остаётся потребовать, чтобы этот отрезок не пересекал интервал (4; 19): A ≤ 4 или B ≥ 19.
Ответ: [0; 3] ∪ [6; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.