Существует пара (x; y): p|x−u| + q|x+a| ≤ √(ρ²−y²) − c — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Оценочные «хотя бы один корень». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых существует хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющая неравенству
4|x − 1| + 2|x + a| ≤ − 1.
4|x − 1| + 2|x + a| ≤ − 1.
Показать ответ
[−3; 1]
Решение
Правая часть определена при |y| ≤ 5 и не превосходит 5 − 1 = 4 (наибольшее значение — при y = 0).
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = 1 и x = −a. Так как 4 > 2, её наименьшее значение достигается в точке x = 1 и равно 2|a + 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ 2|a + 1| ≤ 4.
Ответ: [−3; 1].
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = 1 и x = −a. Так как 4 > 2, её наименьшее значение достигается в точке x = 1 и равно 2|a + 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ 2|a + 1| ≤ 4.
Ответ: [−3; 1].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых существует хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющая неравенству
6|x + 1| + |x + a| ≤ − 1.
6|x + 1| + |x + a| ≤ − 1.
Показать ответ
[−8; 10]
Решение
Правая часть определена при |y| ≤ 10 и не превосходит 10 − 1 = 9 (наибольшее значение — при y = 0).
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = −1 и x = −a. Так как 6 > 1, её наименьшее значение достигается в точке x = −1 и равно |a − 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ |a − 1| ≤ 9.
Ответ: [−8; 10].
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = −1 и x = −a. Так как 6 > 1, её наименьшее значение достигается в точке x = −1 и равно |a − 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ |a − 1| ≤ 9.
Ответ: [−8; 10].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых существует хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющая неравенству
5|x + 1| + |x + a| ≤ − 1.
5|x + 1| + |x + a| ≤ − 1.
Показать ответ
[−3; 5]
Решение
Правая часть определена при |y| ≤ 5 и не превосходит 5 − 1 = 4 (наибольшее значение — при y = 0).
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = −1 и x = −a. Так как 5 > 1, её наименьшее значение достигается в точке x = −1 и равно |a − 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ |a − 1| ≤ 4.
Ответ: [−3; 5].
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = −1 и x = −a. Так как 5 > 1, её наименьшее значение достигается в точке x = −1 и равно |a − 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ |a − 1| ≤ 4.
Ответ: [−3; 5].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых существует хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющая неравенству
6|x − 1| + 2|x + a| ≤ − 5.
6|x − 1| + 2|x + a| ≤ − 5.
Показать ответ
[−7/2; 3/2]
Решение
Правая часть определена при |y| ≤ 10 и не превосходит 10 − 5 = 5 (наибольшее значение — при y = 0).
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = 1 и x = −a. Так как 6 > 2, её наименьшее значение достигается в точке x = 1 и равно 2|a + 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ 2|a + 1| ≤ 5.
Ответ: [−7/2; 3/2].
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = 1 и x = −a. Так как 6 > 2, её наименьшее значение достигается в точке x = 1 и равно 2|a + 1|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ 2|a + 1| ≤ 5.
Ответ: [−7/2; 3/2].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых существует хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющая неравенству
4|x − 2| + 2|x + a| ≤ − 3.
4|x − 2| + 2|x + a| ≤ − 3.
Показать ответ
[−11/2; 3/2]
Решение
Правая часть определена при |y| ≤ 10 и не превосходит 10 − 3 = 7 (наибольшее значение — при y = 0).
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = 2 и x = −a. Так как 4 > 2, её наименьшее значение достигается в точке x = 2 и равно 2|a + 2|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ 2|a + 2| ≤ 7.
Ответ: [−11/2; 3/2].
Левая часть — кусочно-линейная функция от x с изломами в точках x = 2 и x = −a. Так как 4 > 2, её наименьшее значение достигается в точке x = 2 и равно 2|a + 2|.
Значит пара (x; y) существует ⟺ 2|a + 2| ≤ 7.
Ответ: [−11/2; 3/2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.