(tg x+b)² − … = 0 — ровно два решения на [0; 3π/2] — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Тригонометрия с параметром. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(tg x + 16)2 − (a2 + 6a + 27)(tg x + 16) + a2(6a + 27) = 0
имеет ровно два решения на отрезке 0; 3π2.
(tg x + 16)2 − (a2 + 6a + 27)(tg x + 16) + a2(6a + 27) = 0
имеет ровно два решения на отрезке 0; 3π2.
Показать ответ
(−4; −3) ∪ (−3; −11/6) ∪ {9}
Решение
Обозначим t = tg x + 16. Трёхчлен раскладывается: t2 − (a2 + 6a + 27)t + a2(6a + 27) = (t − a2)(t − 6a − 27) = 0.
Значит tg x = a2 − 16 или tg x = 6a + 11.
На отрезке [0; 3π/2] тангенс не определён в точках π/2 и 3π/2. На интервале (π/2; 3π/2) он непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому уравнение tg x = v имеет там ровно один корень при любом v; на [0; π/2) добавляется ещё один корень, но только если v ≥ 0.
Значит ровно два решения — это либо два разных отрицательных значения v, либо один общий корень с v ≥ 0 (ветви склеиваются при a2 − 16 = 6a + 11).
Первое v отрицательно при |a| < 4, второе — при a < −11/6.
Ответ: (−4; −3) ∪ (−3; −11/6) ∪ {9}.
Значит tg x = a2 − 16 или tg x = 6a + 11.
На отрезке [0; 3π/2] тангенс не определён в точках π/2 и 3π/2. На интервале (π/2; 3π/2) он непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому уравнение tg x = v имеет там ровно один корень при любом v; на [0; π/2) добавляется ещё один корень, но только если v ≥ 0.
Значит ровно два решения — это либо два разных отрицательных значения v, либо один общий корень с v ≥ 0 (ветви склеиваются при a2 − 16 = 6a + 11).
Первое v отрицательно при |a| < 4, второе — при a < −11/6.
Ответ: (−4; −3) ∪ (−3; −11/6) ∪ {9}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(tg x + 9)2 − (a2 + 4a + 12)(tg x + 9) + a2(4a + 12) = 0
имеет ровно два решения на отрезке 0; 3π2.
(tg x + 9)2 − (a2 + 4a + 12)(tg x + 9) + a2(4a + 12) = 0
имеет ровно два решения на отрезке 0; 3π2.
Показать ответ
(−3; −2) ∪ (−2; −3/4) ∪ {6}
Решение
Обозначим t = tg x + 9. Трёхчлен раскладывается: t2 − (a2 + 4a + 12)t + a2(4a + 12) = (t − a2)(t − 4a − 12) = 0.
Значит tg x = a2 − 9 или tg x = 4a + 3.
На отрезке [0; 3π/2] тангенс не определён в точках π/2 и 3π/2. На интервале (π/2; 3π/2) он непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому уравнение tg x = v имеет там ровно один корень при любом v; на [0; π/2) добавляется ещё один корень, но только если v ≥ 0.
Значит ровно два решения — это либо два разных отрицательных значения v, либо один общий корень с v ≥ 0 (ветви склеиваются при a2 − 9 = 4a + 3).
Первое v отрицательно при |a| < 3, второе — при a < −3/4.
Ответ: (−3; −2) ∪ (−2; −3/4) ∪ {6}.
Значит tg x = a2 − 9 или tg x = 4a + 3.
На отрезке [0; 3π/2] тангенс не определён в точках π/2 и 3π/2. На интервале (π/2; 3π/2) он непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому уравнение tg x = v имеет там ровно один корень при любом v; на [0; π/2) добавляется ещё один корень, но только если v ≥ 0.
Значит ровно два решения — это либо два разных отрицательных значения v, либо один общий корень с v ≥ 0 (ветви склеиваются при a2 − 9 = 4a + 3).
Первое v отрицательно при |a| < 3, второе — при a < −3/4.
Ответ: (−3; −2) ∪ (−2; −3/4) ∪ {6}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(tg x + 4)2 − (a2 + 4a + 5)(tg x + 4) + a2(4a + 5) = 0
имеет ровно два решения на отрезке 0; 3π2.
(tg x + 4)2 − (a2 + 4a + 5)(tg x + 4) + a2(4a + 5) = 0
имеет ровно два решения на отрезке 0; 3π2.
Показать ответ
(−2; −1) ∪ (−1; −1/4) ∪ {5}
Решение
Обозначим t = tg x + 4. Трёхчлен раскладывается: t2 − (a2 + 4a + 5)t + a2(4a + 5) = (t − a2)(t − 4a − 5) = 0.
Значит tg x = a2 − 4 или tg x = 4a + 1.
На отрезке [0; 3π/2] тангенс не определён в точках π/2 и 3π/2. На интервале (π/2; 3π/2) он непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому уравнение tg x = v имеет там ровно один корень при любом v; на [0; π/2) добавляется ещё один корень, но только если v ≥ 0.
Значит ровно два решения — это либо два разных отрицательных значения v, либо один общий корень с v ≥ 0 (ветви склеиваются при a2 − 4 = 4a + 1).
Первое v отрицательно при |a| < 2, второе — при a < −1/4.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; −1/4) ∪ {5}.
Значит tg x = a2 − 4 или tg x = 4a + 1.
На отрезке [0; 3π/2] тангенс не определён в точках π/2 и 3π/2. На интервале (π/2; 3π/2) он непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому уравнение tg x = v имеет там ровно один корень при любом v; на [0; π/2) добавляется ещё один корень, но только если v ≥ 0.
Значит ровно два решения — это либо два разных отрицательных значения v, либо один общий корень с v ≥ 0 (ветви склеиваются при a2 − 4 = 4a + 1).
Первое v отрицательно при |a| < 2, второе — при a < −1/4.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; −1/4) ∪ {5}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.