tg(πx)·ln(x+a) = ln(x+a) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 2].
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 2].
Показать ответ
(−5/4; −1) ∪ {−1/2} ∪ {−1/4}
Решение
Перенесём всё влево: ln(x + a)(tg(πx) − 1) = 0. ОДЗ: x + a > 0 и x ≠ 1/2 + n (там тангенс не определён).
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 2] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−5/4; −1) ∪ {−1/2} ∪ {−1/4}.
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 2] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−5/4; −1) ∪ {−1/2} ∪ {−1/4}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−1/4; 0) ∪ {1/2} ∪ {3/4} ∪ (1; +∞)
Решение
Перенесём всё влево: ln(x + a)(tg(πx) − 1) = 0. ОДЗ: x + a > 0 и x ≠ 1/2 + n (там тангенс не определён).
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 1] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−1/4; 0) ∪ {1/2} ∪ {3/4} ∪ (1; +∞).
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 1] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−1/4; 0) ∪ {1/2} ∪ {3/4} ∪ (1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 1].
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [−1; 1].
Показать ответ
(−1/4; 0) ∪ {1/2} ∪ {3/4}
Решение
Перенесём всё влево: ln(x + a)(tg(πx) − 1) = 0. ОДЗ: x + a > 0 и x ≠ 1/2 + n (там тангенс не определён).
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 1] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−1/4; 0) ∪ {1/2} ∪ {3/4}.
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [−1; 1] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−1/4; 0) ∪ {1/2} ∪ {3/4}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
(−9/4; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−5/4}
Решение
Перенесём всё влево: ln(x + a)(tg(πx) − 1) = 0. ОДЗ: x + a > 0 и x ≠ 1/2 + n (там тангенс не определён).
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−9/4; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−5/4}.
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−9/4; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−5/4}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
tg(πx)·ln(x + a) = ln(x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−5/4; −1) ∪ {−1/2} ∪ {−1/4}
Решение
Перенесём всё влево: ln(x + a)(tg(πx) − 1) = 0. ОДЗ: x + a > 0 и x ≠ 1/2 + n (там тангенс не определён).
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 2] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−5/4; −1) ∪ {−1/2} ∪ {−1/4}.
Логарифм равен нулю при x + a = 1, то есть x = 1 − a; тангенс равен 1 при πx = π/4 + πn, то есть x = 1/4 + n.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 2] с учётом ОДЗ.
Ответ: (−5/4; −1) ∪ {−1/2} ∪ {−1/4}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.