Тот же приём в сдвинутой записи (модуль слева) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Оценочные «хотя бы один корень». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 + 8|x + 1| + 5 = 3a + |x − 4a + 1|
имеет хотя бы один корень.
a2 + 8|x + 1| + 5 = 3a + |x − 4a + 1|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 5]
Решение
Обозначим t = x + 1; тогда = √(t2 + 4), а все модули записываются через t.
Оценим части. Слева 5√(t2 + 4) ≥ 10, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 4a| ≤ |x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x + 1|, где D(a) = a2 − 3a + 10 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 3a + 10 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 5].
Оценим части. Слева 5√(t2 + 4) ≥ 10, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 4a| ≤ |x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x + 1|, где D(a) = a2 − 3a + 10 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 3a + 10 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 5].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 + 6|x + 1| + 2 = a + |x − 4a + 1|
имеет хотя бы один корень.
a2 + 6|x + 1| + 2 = a + |x − 4a + 1|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 3]
Решение
Обозначим t = x + 1; тогда = √(t2 + 9), а все модули записываются через t.
Оценим части. Слева 2√(t2 + 9) ≥ 6, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 4a| ≤ |x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −5|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 5|x + 1|, где D(a) = a2 − a + 6 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − a + 6 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 3].
Оценим части. Слева 2√(t2 + 9) ≥ 6, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 4a| ≤ |x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −5|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 5|x + 1|, где D(a) = a2 − a + 6 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − a + 6 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 3].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 + 6|x + 1| + 2 = 3a + |x − 4a + 1|
имеет хотя бы один корень.
a2 + 6|x + 1| + 2 = 3a + |x − 4a + 1|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 5]
Решение
Обозначим t = x + 1; тогда = √(t2 + 25), а все модули записываются через t.
Оценим части. Слева 2√(t2 + 25) ≥ 10, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 4a| ≤ |x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −5|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 5|x + 1|, где D(a) = a2 − 3a + 10 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 3a + 10 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 5].
Оценим части. Слева 2√(t2 + 25) ≥ 10, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 4a| ≤ |x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −5|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 5|x + 1|, где D(a) = a2 − 3a + 10 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 3a + 10 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 5].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 + 6|x + 1| + 3 = 4a + 2|x − 2a + 1|
имеет хотя бы один корень.
a2 + 6|x + 1| + 3 = 4a + 2|x − 2a + 1|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[2; 6]
Решение
Обозначим t = x + 1; тогда = √(t2 + 16), а все модули записываются через t.
Оценим части. Слева 3√(t2 + 16) ≥ 12, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника 2|x + 1 − 2a| ≤ 2|x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −4|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 4|x + 1|, где D(a) = a2 − 4a + 12 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 4a + 12 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 6].
Оценим части. Слева 3√(t2 + 16) ≥ 12, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника 2|x + 1 − 2a| ≤ 2|x + 1| + 4|a|, поэтому правая часть не превосходит −4|x + 1| + 4|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 4|x + 1|, где D(a) = a2 − 4a + 12 − 4|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 4a + 12 ≤ 4|a|.
Ответ: [2; 6].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a2 + 8|x + 1| + 5 = 3a + |x − 5a + 1|
имеет хотя бы один корень.
a2 + 8|x + 1| + 5 = 3a + |x − 5a + 1|
имеет хотя бы один корень.
Показать ответ
[3; 5]
Решение
Обозначим t = x + 1; тогда = √(t2 + 9), а все модули записываются через t.
Оценим части. Слева 5√(t2 + 9) ≥ 15, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 5a| ≤ |x + 1| + 5|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x + 1| + 5|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x + 1|, где D(a) = a2 − 3a + 15 − 5|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 3a + 15 ≤ 5|a|.
Ответ: [3; 5].
Оценим части. Слева 5√(t2 + 9) ≥ 15, причём равенство только при x + 1 = 0.
Справа по неравенству треугольника |x + 1 − 5a| ≤ |x + 1| + 5|a|, поэтому правая часть не превосходит −7|x + 1| + 5|a| плюс слагаемые с a.
Значит разность левой и правой частей не меньше D(a) + 7|x + 1|, где D(a) = a2 − 3a + 15 − 5|a|, и при x + 1 = 0 достигается равенство.
При D(a) > 0 разность всюду положительна — корней нет; при D(a) ≤ 0 она равна D(a) ≤ 0 в нуле и стремится к +∞ при больших |x + 1|, поэтому корень есть.
Остаётся решить a2 − 3a + 15 ≤ 5|a|.
Ответ: [3; 5].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.